Sei $$ \psi(t) = \varphi(0)+\int \limits_{0}^{t} a(s) \varphi(s) ds $$ und $$ \chi(t) = \varphi(0) \exp\left(\int_0^t a(s)ds\right) $$ Wenn dann \( \frac{\psi(t)}{\chi(t)} \le 1 \) gilt, folgt $$ \varphi(t) \le \psi(t) \le \chi(t) $$ was die gewünschte Aussage ist.
Dazu wird nachgewiesen, dass $$ \gamma(t) = \frac{\psi(t)}{\chi(t)} \le 1 $$ gilt. Es ist \( \gamma(0) = \frac{\varphi(0)}{\varphi(0)} = 1 \)
Nun weisst man nach, dass \( \gamma(t) \) monoton fallend ist, in dem man die Ableitung von \( \gamma(t) \) bildet.
$$ \gamma'(t) = \frac{ \psi'(t) \chi(t) - \chi'(t) \psi(t) } { \chi^2(t) } = \frac{ a(t) \varphi(t) \chi(t) - \chi(t) a(t) \psi(t) }{ \chi^2(t) } = \frac{a(t)}{\chi(t)} (\varphi(t) - \psi(t)) \le 0 $$ wenn \( \varphi(0) \gt 0 \) gilt. Damit ist \( \gamma(t) \) monoton fallend und es folgt \( \gamma(t) \le 1 \)
