Zeigen Sie, dass \mathcal{D}: \mathcal{F}_{n} \rightarrow \mathcal{F}_{n-1} \operatorname{mit} …

Question

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(3) \( \left(5+5\right. \) Punkte) Es sei \( K \) ein Körper und \( \mathcal{F}_{n}=\left\langle 1, X, \ldots, X^{n}\right\rangle \) ein Untervektorraum von \( K[X] \). Man nennt \( \mathcal{E}=\left\{1, X, \ldots, X^{n}\right\} \) Standardbasis von \( \mathcal{F}_{n} \).
(a) Für \( f=a_{n} X^{n}+\cdots+a_{1} X+a_{0} \) sei \( f^{\prime}=n a_{n} X^{n-1}+\cdots+2 a_{2} X+a_{1} \) die (formale)
Ableitung von \( f \). Zeigen Sie, dass \( \mathcal{D}: \mathcal{F}_{n} \rightarrow \mathcal{F}_{n-1} \operatorname{mit} \mathcal{D}(f)=f^{\prime} \) für \( n \geq 1 \) eine
lineare Abbildung ist. Bestimmen Sie die Matrix von \( \mathcal{D} \) bzgl. der Standardbasen.
(b) Es sei \( h=a_{m} X^{m}+\cdots+a_{1} X+a_{0} \) und \( H: \mathcal{F}_{n} \rightarrow \mathcal{F}_{n+m} \) mit \( H(f)=h f \) die
Multiplikation mit \( h \). Zeigen Sie, dass \( H \) eine lineare Abbildung ist. Bestimmen Sie die Matrix von \( H \) bzgl. der Standardbasen.

So verwenden Sie die Standardbasis, um diese lineare Abbildung darzustellen？können sie einfach eine Beispiel machen?

Answer 1

Hallo

Beispiel P(x)=2x^2+3x+4 als Vektor in der Standardbasis (4,3,2)

f'=4x+3

Abbildung 1 wird auf 0 abgebildet, x auf 1, x^2 auf 2

die spalten der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren

also 1. Spalte (0,0,0) zweite Spalte (1,0,0) dritte Spalte (0,2,0)