komplexe Eigenwerte finden durch geg. Determinante und Spur

Question

Aufgabe:

Die Matrix \( D \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \) besitze den Eigenwert \( \lambda_{1}=2+3 \mathrm{i} \), und es gelte \( \mathrm{Sp}(D)=-4 \) und \( \operatorname{det}(D)=156 \). Bestimmen Sie die drei weiteren Eigenwerte von \( D . \) Tragen Sie die Lösungen so ein, dass \( \operatorname{Re}\left(\lambda_{2}\right)<\operatorname{Re}\left(\lambda_{3}\right)<\operatorname{Re}\left(\lambda_{4}\right) \).

Problem/Ansatz:

Da komplexe Eigenwerte immer konjugiert auftreten, habe ich als zweiten EW= 2-3i

ich habe zwei Bedingungen:

X=lamda

1. x1*x2*x3*x4 = 156 (Determinante)

--> daraus haben ich nach vereinfachung x3*x4=12

2. x1+x2+x3+x4=-4

--> Da x1+x2 = 4 , muss x3+x4 = -8 sein.  Da es komplex konj. ist, wird der Imaginärteil wegfallen.

heißt der Realteil muss bei beiden -4 sein, weil -4-4=-8

Leider weiß ich nicht wie ich weiter machen soll bzw. nur komische Sachen dann rausbekommen.

Wie löst man diese Aufgabe am Besten?

Comments

Was wenn die restlichen Eigenwerte x3, x4 reell sind? Das Gleichungssystem

x3+x4=-8

x3*x4=12

hat reelle Lösungen..

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Nach Vieta sind x₃ und x₄ die Lösungen der quadratischen Gleichung x² + 8x + 12 = 0.

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danke für den Denkanstoß. Daran habe ich nicht gedacht, dass es auch nur reell sein kann

Answer 1

Hallo :-)
Der Ansatz stimmt.

X=lamda

Wofür brauchst du das?

1. x1*x2*x3*x4 = 156 (Determinante)

Guter Ansatz.

--> daraus haben ich nach vereinfachung x3*x4=12

Also ist doch \(x_1=2+3i\) und \(x_2=2-3i\)

2. x1+x2+x3+x4=-4

Richtig. Und man erhält \(x_1+x_2=4\), also \(x_3+x_4=-8\)

Damit hast du dieses nichtlineare Gleichungssystem:

1.) \(x_3\cdot x_4=12\)

2.) \(x_3+x_4=-8 \quad \Leftrightarrow \quad x_3=-8-x_4\quad (*)\)

\(\stackrel{\text{(*) in 1.)}}{\Longrightarrow}\quad (-8-x_4)x_4=12 \quad \Leftrightarrow \quad x_4^2+8x_4+12=0\)

Jetzt zu Ende auflösen und die Lösungen nach der Bedingung aus der Aufgabenstellung auswählen: \( \operatorname{Re}\left(\lambda_{2}\right)<\operatorname{Re}\left(\lambda_{3}\right)<\operatorname{Re}\left(\lambda_{4}\right) \).