Beweis zulässiger Bereich F(LP) beschränkt ist.

Question

ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe

\( \text { LP: } \begin{aligned} f(x)=\sqrt{2} x_{1}+\frac{2}{\sqrt{2}} x_{2} & \rightarrow \text { min s.d. } \\ x_{1}+x_{2} & \leq 1 \\ -x_{1}+x_{2} & \geq 3 \\ x_{1} & \geq-2 \\ x_{1} \leq 0, x_{2} & \geq 0 \end{aligned} \)
Beweisen Sie ohne Skizze, dass \( \mathcal{F}(\mathrm{LP}) \) beschränkt ist.


ich habe keine Ahnung, wie man ohne Skizzen beweisen kann.

Hat jemand vielleicht eine Idee?

Vielen Dank
LG
ThomasMuller

Answer 1

Man kann Ungleichungen addieren, wenn sie das gleiche Relationszeichen haben. Aus der zweiten und dritten Ungleichung folgt durch Addition x_2≥1. Damit ist x_2 schon mal NACH UNTEN beschränkt.

Die erste Ungleichung lässt sich in -x_1 -x_2 ≥1 umformen. Addition mit der zweiten Ungleichung liefert -2x_1≥2 bzw. x_1≤1.

Zusammen mit der dritten Bedingung liegt x_1 also zwischen -2 und +1 und ist somit beschränkt.

Finde nun noch heraus, warum auch x_2 beschränkt ist.