Vektorraum, Abbildung nilpotent f = 0

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( V \) ein unitärer Vektorraum.
(a) Sei \( f: V \rightarrow V \) linear, selbstadjungiert und nilpotent (d.h. es existiert ein \( k \in \mathbb{N} \) mit \( f^{k}=0 \) ). Zeigen Sie, dass dann bereits \( f=0 \) gilt.

Problem/Ansatz:

Ich finde keinen Ansatz zu dieser Aufgabe. Wie könnte ich bei dieser Aufgabe beginnen?

LG

Comments

Schreib dir genau die Definitionen der Begriffe „lineare Abbildung“, „selbstadjungiert“ und „nilpotent“ raus. (mehr hast du ja gar nicht als Voraussetzung!)

Dann solltest du einen Beweis mit Widerspruch durchführen, d.h. annehmen, dass f nicht die Nullabbildung ist. Probier das mal und melde dich sonst nochmal! ^^

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Danke für die Antwort, ich habe die Lösung bereits selbst herausgefunden :)
Aus der Selbstadjungiertheit kann ich folgern das der Vektorraum diagonalisierbar ist. Und damit wäre die Darstellungsmatrix von f zu einer geeigneten Basis eine Diagonalmatrix, und da die Diagonalelemente die Eigenwerte sind, wäre die Darstellungsmatrix die Nullmatrix. Somit gilt f = 0 !

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Perfekt!

Nur ist der *Vektorraum* nicht diagonalisierbar, sondern deine *lineare Abbildung*! ;)