Zeigen sie folgendes für die Funktion f(x) = x^3/x^2+1

Question

Aufgabe:

Sei f: ℝ/{-1/1} → ℝ mit f(x) = \( \frac{x^3}{x^2+1} \)

Zeigen Sie :

\( \lim \limits_{x \rightarrow 1 \atop x<1} f(x)=-\infty \quad \lim \limits_{x \rightarrow 1 \atop x>1} f(x)=\infty \)

Problem/Ansatz:

Ich stehe momentan auf dem Schlauch wie ich das zeigen soll.

Comments

Im Nenner sollte wohl x² - 1 stehen? Andernfalls gilt die Aussage zumindest nicht.
Betrachte einfach das Verhalten der Funktion, wenn du dich x = 1 von einer Seite näherst, und überlege dir, wie sich Vorzeichen von Zähler und Nenner verhalten.

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Muss es nicht so heißen  \( \frac{x^3}{x^3+1} \)?

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Ja genau es ist \( \frac{x^3}{x^2-1} \). Hab mich wohl vertippt.

Answer 1

Aloah :)

Wir formen die Funktionsgleichung ein wenig um:$$f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}=\frac{x^3-x+x}{x^2-1}=\frac{x^3-x}{x^2-1}+\frac{x}{x^2-1}=\frac{x(x^2-1)}{x^2-1}+\frac{x}{x^2-1}$$$$\phantom{f(x)}=x+\frac{x}{x^2-1}=x+\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{\frac{1}{2}}{x+1}=x+\frac{1}{2(x+1)}+\frac{1}{2(x-1)}$$

Damit lauten nun die beiden gesuchten Grenzwerte:$$\lim\limits_{{x\to1}\atop{x<1}}f(x)=1+\frac{1}{2(1+1)}+\lim\limits_{{x\to1}\atop{x<1}}\frac{1}{2(x-1)}=\frac54+\lim\limits_{h\nearrow0}\frac{1}{2h}=-\infty$$$$\lim\limits_{{x\to1}\atop{x>1}}f(x)=1+\frac{1}{2(1+1)}+\lim\limits_{{x\to1}\atop{x>1}}\frac{1}{2(x-1)}=\frac54+\lim\limits_{h\searrow0}\frac{1}{2h}=+\infty$$