Sei \( (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) \) ein Wahrscheinlichkeitsraum und \( \left(A_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{A} \).
Folgern Sie aus dem Lemma von Fatou:
(i) Aus \( \mathbb{P}\left(A_{n}\right) \rightarrow 0 \) folgt \( \mathbb{P}\left(\lim \inf _{n \rightarrow \infty} A_{n}\right)=0 \).
(ii) Aus \( \mathbb{P}\left(A_{n}\right) \rightarrow 1 \) folgt \( \mathbb{P}\left(\limsup _{n \rightarrow \infty} A_{n}\right)=1 \).
Lemma von Fatou:
Sei \( f_{n}: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R}} \) messbar numerisch und nicht-negativ, für \( n \in \mathbf{N} \). Dann gilt
\(\int \limits_{\Omega} \liminf _{n \rightarrow \infty} f_{n} \mathrm{~d} \mu \leq \liminf _{n \rightarrow \infty} \int \limits_{\Omega} f_{n} \mathrm{~d} \mu\)
