Zeige oder widerlege: Wenn f monoton steigend und surjektiv ist, dann ist f stetig.

Question

Aufgabe:

Folgendes Problem:

Wir haben eine Funktion f: ℝ→ℝ, welche monoton steigend und surjektiv ist. Daraus folgt, dass f stetig ist.

Und das soll ich jetzt zeigen oder widerlegen... Nur hab ich leider keine Idee...

Hoffe mir kann jemand helfen. Danke :)

Comments

Meins wird mehr ein versuch als eine lösung :)

Da f surjektiv ist kann man jedem x wert ein y wert zuordnen und weil es keine ID Definition lücke gibt muss folglich Die Funktion f stetig sein.

Entweder streng monoton wachsend oder streng monoton fallend.

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Es muss

f(x1)=>f(x2) oder f(x1)<=f(x2) folgen.

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Da f surjektiv ist kann man jedem x wert ein y wert zuordnen

(immai)

Nicht irgendwas verwechselt ??

Answer 1

Hallo,

wir nehmen die epsilon / delta-Definition und untersuchen Stetigkeit im Punkt a. Sei \(\epsilon>0\) gegeben. Dann bestimme (Surjektivität)

$$x \text{  mit }f(x)=f(a)-\epsilon \text{  und } y \text{  mit }f(y)=f(a)+\epsilon$$

Wegen der Monotonie ist \(x<a<y\) und wir können \(\delta:=\min\{a-x,y-a\}\) nehmen.

Gruß Mathhilf