Ableitungen bilden(erste 5 von f(x) = ln(1+x^2) )

Question

Aufgabe:

Erste 5 Ableitungen

f(x) = ln(x^2 +1)

Habe ich das richtig und wenn nicht wie hätte man vorgehen sollen bzw. diese Aufgaben lösen.

Danke
Problem/Ansatz:

f(x) = 1/(1+x^2) = 1*(1+x^2)^-1

f'(x) =  -1(1+x^2)*(2x)*(1+x^2)^-2  = -2x*(-2)*(1+x^2)^-3  = 3x/(1+x^2)^-3

f''(x) = 3x*(2x)*(-3)*(1+x^2)^-4 = -27x^2 *(1+x^2)^-4 = -27x^2/(1+x^2)^4

f'''(x) = -27x^2 *(-4)*2x*(1+x^2)^-5 = -54x^3*(-4)*(1+x^2)^-5 = -216x^3 (1+x^2)^-5

f_4(x) = -216x^3 *2x*(-5)(1+x^2)^-6 = 2160x^4(1+x^2)^-7

f_5(x) = 2160x^4*2x*(-7)(1+x^2)^-8

Comments

f(x) = ln(x^{2} +1)

weiter unten:

f(x) = 1/(1+x^{2}) = 1*(1+x^{2})^-1

Was hast du da mit f gemacht?

Answer 1

Du könntest selber mal einen Ableitungsrechner bemühen

https://www.ableitungsrechner.net/

Hier wären meine Ergebnisse:

f(x) = LN(x^2 + 1)

f'(x) = 2·x/(x^2 + 1)

f''(x) = 2·(1 - x^2)/(x^2 + 1)^2

f'''(x) = 4·x·(x^2 - 3)/(x^2 + 1)^3

f''''(x) = - 12·(x^4 - 6·x^2 + 1)/(x^2 + 1)^4

f'''''(x) = 48·x·(x^4 - 10·x^2 + 5)/(x^2 + 1)^5

Answer 2

Hallo,

händisch sieht das so aus :

Answer 3

Es gilt:

f(x) = ln(g(x)) -> f '(x) = g'(x)/g(x)