Polynom irreduzibel in Q[X] → irreduzibel in Z[X]?

Question

Hallo liebes Forum, ich habe in einem anderem Forum einige  Aussagen gesehen die mir etwas unklar erscheinen und die ich gerne bestätigt oder wiederlegt haben möchte...^^

Die Kernaussage, die mich interessiert hat:

Polynom irreduzibel in Q[X] → irreduzibel in Z[X]?

Nach meinem Verständnis tritt dies nur in Kraft, falls das Polynom in Z[x] primitiv ist, also wenn der ggT der Koeffizienten Einheiten sind, in Z[x], wäre das also die 1?

Weiterhin wurde ein Beispiel genannt:

f = 2x+2  Irreduzibel über ℚ , reduzibel über ℤ .

Wir sehen: Das Polynom ist nicht primitiv, da ggT = 2 und dies keine Einheit in Z[x] ist?

Ich kann das Polynom umschreiben in 2(x+1), somit ist es in Z[x] reduzibel, weil weder 2 noch (x+1) Einheit in Z[x] ist?

Außerdem ist es in Q[x] Irreduzibel, weil 2 eine Einheit in Q[x] ist?

Jetzt noch eine sehr dumme Frage: was sind denn Einheiten in Q[x]? Die 2, weil 2*1/2=1 ist? Demnach wären dann alle ganzen Zahlen Einheiten in Q[x]?

Vielen Dank shcon mal im Voraus.^^

Answer 1

Ist R ein Integritätsbereich (zB ℤ, aber auch alle Körper), dann ist die Einheitengruppe des Polynomrings R[x] = der Einheitengruppe von R:

$$ R[x]^* = R^* $$

Zur Übung nachrechnen! Man braucht dazu deg(f*g)=deg(f)+deg(g) und das gilt eben nur für Polynome über nullteilerfreien Ringen.
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In ℤ sind die einzigen Einheiten +1 und -1

Das Polynom 2x+2=2(x+1) zerlegt sich somit in ℤ[x] in zwei nicht-Einheiten (beachte, dass nach obiger Gleichheit die einzigen Einheiten von ℤ[x] auch ±1 sind). Es ist also reduzibel in ℤ[x].
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In ℚ sind aber alle Elemente ≠0 Einheiten:

in der Zerlegung 2(x+1) taucht also eine Einheit auf. Für jede andere Zerlegung 2x+2=u*v gilt da ℚ nullteilerfrei eben

1=deg(2x+2)=deg(u)+deg(v)

Die Gleichheit geht aber nur auf wenn eines der Polynome Grad 1 hat und das andere Grad 0. Die Polynome vom Grad 0 sind ja aber im Prinzip einfach nur Elemente von ℚ\{0} (das Nullpolymom hat bei mir Grad -∞). Also ist dieses Polynom mit Grad 0 eine Einheit. Und damit ist gezeigt: In jeder Zerlegung ist einer der beiden Faktor eine Einheit, also ist das Polynom in ℚ[x] irreduzibel.

Das kann man auf beliebige Körper K verallgemeinern: Polynome vom Grad 1 sind in K[x] immer irreduzibel.
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Damit hast du ein Gegenbeispiel für die Aussage:

Polynom irreduzibel in ℚ[X] ⇒ irreduzibel in ℤ[X]

Diese Aussage ist also falsch!
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Es gilt aber

Polynom irreduzibel in ℚ[X] und primitiv in ℤ[x] ⇔ irreduzibel in ℤ[X]

Und hier gilt sogar Äquivalenz!

https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_lemma_(polynomials)

Comments

Vielen Dank! Genau das wollte ich wissen! Dankeschön!^^