Bestimmen sie r 0 und ϕ ∈ [0, 2π) derart, dass z = reiϕ gilt

Question

Aufgabe: Sei 2^(-25) (1-i)⁵⁰. Bestimmen sie r > 0 und ϕ ∈ [0, 2π) derart, dass z = r^eiϕ gilt

Problem/Ansatz: In der Lösung der Aufgabe ist der erste Schritt die Umformung z = 2⁻²⁵2²⁵(e^−iπ/4)⁵⁰ . Ich verstehe irgendwie nicht wie man diese Umformung vornehmen kann. Kann mir hier jemand helfen?

Comments

Hier (1-i) eingezeichnet. Wie lang ist \( r \)? Wie groß ist \( \varphi \)? Beachte dass Winkel die im Uhrzeigersinn gemessen werden einen negativen Wert bekommen. (Gemessen wir von der positiven x-Achse aus)

Answer 1

Aloha :)

$$z=2^{-25}\cdot(1-i)^{50}=2^{-25}\cdot\left(\sqrt2\left(\frac1{\sqrt2}-i\frac1{\sqrt2}\right)\right)^{50}=2^{-25}\cdot\left(\sqrt2\left(\cos\frac\pi4-i\sin\frac\pi4\right)\right)^{50}$$$$\phantom{z}=2^{-25}\cdot(\sqrt2)^{50}\cdot\left(e^{-i\,\frac\pi4}\right)^{50}=2^{-25}\cdot(2^{\frac12})^{50}\cdot\left(e^{-i\,\frac\pi4}\right)^{50}=2^{-25}\cdot2^{\frac12\cdot50}\cdot e^{-i\frac\pi4\cdot50}$$$$\phantom{z}=2^{-25}\cdot2^{25}\cdot e^{-i12,5\pi}=e^{-i12,5\pi}=\cos(12,5\pi)-i\sin(12,5\pi)=\cos\frac\pi2-i\sin\frac\pi2=-i$$

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Danke vielmals für die schnelle und Ausführliche Antwort :)

Answer 2

Hallo,

du brauchst den Betrag und den Winkel von 1-i.

Den Betrag von x+yi ist √(x²+y²), also

|1+(-1)i|=√(1²+(-1)²)=√2.

Der Winkel im Gradmaß ist -45°, wie du der Abbildung im Kommentar entnehmen kannst.

Im Bogenmaß entspricht 45° dem Winkel π/4, da 180° π entspricht und 180°/4=45°.

Also

 2^(-25)*(1-i)^50

=2^{-25}*(√(2)*e^{i*(-π/4})^50

usw.

:-)

Comments

Danke vielmals für die Erklärung :D Ich glaube ich habe mich zu fest von den hohen Potenzen einschüchtern lassen um da selbst auf die Lösung zu kommen :P