Aufgabe:
Bestimmen Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.
(1) Die leere Menge ∅ ist eine antisymmetrische Relation auf P(ℕ).
(2) Für alle Mengen M, N und P gilt (M\N) \ P = (M \ P) \ N
(3) Falls \( \sqrt{xy} \) = \( \sqrt{yx} \) für alle x,y ∈ ℝ>0, so gilt |x-y| = |x| - |y| für alle x,y ∈ ℝ.
(4) Eine Funktion f : M -> N ist genau dann surjektiv, wenn die Gleichung f(x) = y für jedes y ∈ ℕ mindestens eine Lösung besitzt.
(5) Es gilt {1,2} ⊆ P(ℕ).
(6) Die Menge ℕ2018 ist abzählbar.
(7) Streng monoton fallende Funktionen von ℝ nach ℝ sind immer injektiv, aber nicht notwendigerweise surjektiv.
Problem/Ansatz: sind meine Lösungen richtig?
(1) Antisymmetrisch bedeutet ja, dass ein Pfeil von der leeren Menge zu P(ℕ) geht, und nicht umgekehrt. Da P(ℕ) die leere Menge enthält, stimmt es ja zuerst, dass ein Pfeil von der leeren Menge zu P(ℕ) geht. Aber da P(ℕ) mehr als nur die leere Menge enthält, kann kein Pfeil von P(ℕ) zur leeren Menge gehen, richtig? Und somit wäre die Aussage (1) wahr, oder?
(2) (M\N) Wäre nur M, und das ohne P wäre M. <=> (M\P) wäre nur M, und M\N wäre nur M. Also ist die Aussage wahr.
(3) Hier weiß ich gar nicht, wie ich vorgehen soll. Wie löse ich das am besten? Die Aussage hört sich auf jeden Fall falsch an, auch weil ihc keinen Zusammenhang zwischen den beiden Wurzeln und dann "so gilt |x-y| = |x| - |y|" sehe.
(4) "Eine surjektive Funktion ist eine mathematische Funktion, die jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert annimmt." Das würde bedeuten, dass auf jedes Element in N mindestens jeweils ein Pfeil zeigt. Genau das sagt ja auch "wenn die Gleichung f(x) = y für jedes y ∈ ℕ mindestens eine Lösung besitzt. " aus. Also ist die Aussage (4) wahr, oder?
(5) Ist wahr, oder? denn P(ℕ) enthält ja unter anderem die Teilmengen {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}... oder?
(6) Hier weiß ich leider überhaupt nicht, wie ich vorgehen muss.
(7) Wenn ich mir eine lineare Funktion vorstelle, die von links oben nach rechts unten streng montoon fällt, dann gibt es für jeden x-Wert genau einen y-Wert. Genau dies ist die Bedingung für Injektivität. Aber genau so muss es doch auch umgekehrt sein, also für jeden y-wert muss es mindestens ein x geben. Denn die Funktion verläuft doch unendlich nach links und nach rechts.
Liebe Grüße
