Diagonalisierte Matrix , korrekte Werte, falsche Vorzeichen

Question

\( A=\left(\begin{array}{ccc}0 & \frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ccc}4 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{-1}{\sqrt{2}}\end{array}\right) \)

Das ist die Matrix A nach meiner Berechnung:

\( \left(\begin{array}{ccc} -5 & 0 & 3 \\ 0 & -4 & 0 \\ 3 & 0 & -5 \end{array}\right)\)

Und so ist die Ursprungsmatrix:

\( \left(\begin{array}{ccc} 5 & 0 & -3 \\ 0 & 4 & 0 \\ -3 & 0 & 5 \end{array}\right)\)

Ich habe diese diagonalisierte Matrix für A heraus, wenn ich die Matrizen jedoch multipliziere erhalte ich die Matrix A mit korrekten Werten, jedoch mit verkehrten Vorzeichen? Woran könnte das liegen?
LG

Comments

(Ausversehen kommentiert)

Answer 1

Hm, hast Du einen Vorzeichendreher bei den Eigenwerten - die würden dann zu Deiner 1. Matrix passen.

zum Nachrechnen

https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

mit A:= {{-5, 0,3}, {0, -4, 0}, {3,0, -5}}

oder -A

Ach nein, Du hast Vorzeichen Dreher in der Inversen/Transponierten

\(\small \left(\begin{array}{rrr}0&\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\1&0&0\\0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rrr}0&-1&0\\\frac{1}{\sqrt{2}}&0&-\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}&0&\frac{-1}{\sqrt{2}}\\\end{array}\right) \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{array}\right)\)