bestimmtes Integral berechnen: Zerlegungssumme und Limes

Question

Problem/Ansatz: Hallo, ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)=1/4x+1 (dabei x...Zeit in s, f(x)...Geschwindigkeit in m/s)

Die Funktion beschreibt einen sich geradlinig bewegenden Körper.

Nun soll die zurückgelegte Strecke zwischen a=0 und b=8 als Integral ausgedrückt und berechnet werden. Das soll allerdings mit der Zerlegungssumme und dem limes passieren.

Ich hatte folgenden Ansatz:

S= 8/n * ( f(8/n) + f(2*8/n) + f(3*8/n) +...+ f(n*8/n) )

dann die x Werte in f(x) einsetzen daraus folgt:

S= 8/n * ( (1/4 * 8/n +1) + (1/4 * 2* 8/n +1) + (1/4 * 3*8/n +1) +...+ (1/4 * n* 8/n +1) )

Normalerweise (wäre da nicht +1 in jeder Klammer) würde ich jetzt (8/n) und (1/4) ausklammern und das ganze dann mithilfe einer Summenformel so vereinfachen, dass ich dann den Grenzwert berechnen kann (n gegen unendlich)

Allerdings bringt mich das +1 in jeder der Klammern aus dem Konzept und ich weiß nicht wie ich weiterhin vorgehen soll bzw. wie ich das bestenfalls so umgestellt bekomme, dass ich die Summenformel anwenden kann...

Ich freue mich über jede Hilfe :)

Answer 1

S= 8/n * ( (1/4 * 8/n +1) + (1/4 * 2* 8/n +1) + (1/4 * 3*8/n +1) +...+ (1/4 * n* 8/n +1) )

= 8/n * ( (1/4 * 8/n) + (1/4 * 2* 8/n) + (1/4 * 3*8/n) +...+ (1/4 * n* 8/n)  + n)

= 8/n * (1/4 * (8/n + 2* 8/n + 3*8/n +...+ n* 8/n)  + n)

Comments

Den Ansatz habe ich auch schon probiert, bin aber auf das falsche Ergebnis gekommen:

S = 8/n * (1/4 * (8/n + 2* 8/n + 3*8/n +...+ n* 8/n)  + n)

=  8/n * 8/n *1/4 * (1+2+3+...+n)  + n)

= 8/n * 8/n *1/4 * ( (n*(n+1))/2 ) + n)

= 64/8 * n/n * (n+1)/n + 64n/4n^2

= 8 * (n+1)/n + 16/n

= 8 * (n/n + 1/n) + 16/n

= 8 * (1 + 1/n) + 16/n

limes n geht gegen unendlich (  8 * (1 + 1/n) + 16/n ) = 8

Das richtige Ergebnis müsste allerdings 16 sein? Siehst du vielleicht meinen Fehler?

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S = 8/n * (1/4 * (8/n + 2* 8/n + 3*8/n +...+ n* 8/n)  + n)
=  8/n * 8/n *1/4 * (1+2+3+...+n)  + n)

Da fehlt eine Klammer. Wenn du sie richtig setzt, dann passt das.

Richtig ist

        =  8/n * (8/n *1/4 * (1+2+3+...+n)  + n).

Falsch wäre hingegen

        =  8/n * 8/n *1/4 * ((1+2+3+...+n)  + n).

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Ach ja, alles klar, vielen Dank!