Bestimme den Wert des Integrals, bestimmtes Integral

Question

Hallo Leute!

Ich bin bei einer Aufgabe stecken geblieben. Ich kann hier absolut nicht nachvollziehen, warum man zuerst cos(s)=x substituieren soll. Ich hab‘s ohne die Substitution gerechnet und bin auf folgendes Ergebnis gekommen.

Aufgabe:

Bestimme den Wert des Integrals
\( \int \limits_{-1}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x . \)
Hinweis: Verwende zuerst die Substitution \( \cos (s)=x \).

Problem/Ansatz:

\( \begin{array}{l}\int \limits_{-1}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=-\frac{1}{2} \int \frac{x}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{x} d u= \\ x=\cos (s) \\ u=1-x^{2} \longrightarrow 1 \mapsto u_{2}=0 \\ \frac{d u}{d x}=-2 x \\ d u=-2 x d x \\ d x=-\frac{1}{2 x} d u \quad u_{1}=0 \\ \Rightarrow-\frac{1}{2} \int \limits_{0}^{-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}-\frac{u^{\frac{1}{2}}=2 \sqrt{1}}{\frac{1}{2}} d u=-\left.\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{u}\right|_{0} ^{0}=0 \\ 1 \frac{\cos (s)}{\sqrt{1-\cos ^{2}(s)}}\end{array} \)

Comments

https://www.integralrechner.de/

Den Sinn der Substitution sehe ich auch nicht.

Answer 1

\(x=\cos(s)\Rightarrow dx=-\sin(s)ds\) wandelt das Integral in

\(\int \frac{\cos(s)\cdot (-\sin(s))}{\sin(s)}ds=-\int \cos(s)ds=-\sin(s)=-\sqrt{1-\cos(s)^2}=\)

\(=-\sqrt{1-x^2}\)

Comments

Welchen Sinn soll das haben? Wozu macht oder braucht man das?

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Diese einfache Übungsaufgabe soll die Studierenden vertraut machen mit

der in der Analysis immer wieder günstig angewendeten

Substitution, eine Variable durch eine trigonometrische

Funktion einer anderen Variable auszudrücken.

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Bemerkung

1. Vielleicht hat der Aufgabensteller eine Aufgabe gesucht, um die Substitution mit cos zu üben, und dann nicht gemerkt, dass sich alles vereinfacht hat.

2. Auch wenn es nicht der schönste Lösungsweg ist, sollte der vorgeschlagene Weg aber auch kein Problem sein - wenn doch, mangelt es an Übung.

3. Das Integral ist uneigentlich, weil der Integrand an den Rändern unbeschränkt ist.

4. Der Integrand ist ungerade.

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Diese einfache Übungsaufgabe soll die Studierenden vertraut machen mit

der in der Analysis immer wieder günstig angewendeten

Substitution,

Verstehe, danke.

Ich sehe das so zu ersten Mal.

1-x^2 könnte an so etwas denken lassen und soll es wohl auch.

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1-x² könnte an so etwas denken lassen und soll es wohl auch.

Ja. Dieser Term soll an Trigonometrie, sin, cos und
Pythagoras erinnern ....

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Alles klar, so macht das ganze natürlich Sinn. Vielen Dank für eure Rückmeldung und vielen Dank für den Rechenweg ermanus! :)