Gegeben ist ein bestimmtes Integral von f(x)=cos(x). Wert des andern Integrals angeben.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=cos(x). Es gilt \( \int _{0} ^ { \frac { \pi } { 2 } } \operatorname { cos } ( x ) d x = 1 \)

a) Geben Sie den Wert des Integrals \( \int _ { - \frac { \pi } { 2 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \operatorname { cos } ( x ) d x \) an.

b) Begründen Sie (ohne Stammfunktion), dass gilt \( \int _ { 0 } ^ {3π} \operatorname { cos } ( x ) d x = 0 \)

c) Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion g mit g(x)=2+0,5cos(x) aus dem Graphen der Funktion f entsteht.

Answer 1

a) \( \int\limits_{-0,5π}^{0,5π} \) cos(x) dx = [Sinus (x) ]^0,5pi_-0,5pi

= Sinus (0,5pi) - Sinus (-0,5pi)  = 1 - (-1) = 2 


b) Ja weil wenn du das Intervall [0; pi] z.B betrachtest befindet sich die eine hälfte bei 1 und die andere bei -1 somit heben sie sich auf. und das gleich gilt auch für 2pi und 3pi. 

Schau dir das sonst nochmal Graphisch es an 

c) Ja, sie entsteht durch eine Verschiebung um 2 Einheiten nach oben verschoben. Dabei hat sich die Auslenkung sprich die Amplitude halbiert. 

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

Skizziere die Funktion cos(x) und schraffiere die Fläche unter dem Graphen im Intervall von 0 bis π/2.

Hast du?

Jetzt schraffiere zusätzlich noch die Fläche unter dem Graphen im Intervall von - π/2 bis 0.

Hast du?

Vergleiche nun die Fläche von 0 bis π/2 mit der Fläche von - π/2 bis π/2.

Was stellst du fest?