Aloha :)
Einfache Potenzen der Form \(x^n\) integrierst du, indem du den Exponenten um 1 erhöhst und danach durch den neuen Exponenten dividerst \(\left(x^n\to\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)\).
Damit kannst du 3 Integrale sofort hinschreiben:
$$\int\limits_{0,25}^{0,5}\left(\frac{1}{x^2}+5\right)dx=\int\limits_{0,25}^{0,5}\left(x^{-2}+5x^0\right)dx=\left[\frac{x^{-1}}{-1}+5\frac{x^1}{1}\right]_{0,25}^{0,5}=\left[-\frac1x+5x\right]_{0,25}^{0,5}=3,25$$$$\int\limits_{-\sqrt2}^0x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-\sqrt2}^0=-1$$$$\int\limits_1^4\frac{1}{\sqrt x}\,dx=\int\limits_1^4x^{-\frac12}\,dx=\left[\frac{x^{\frac12}}{\frac12}\right]_1^4=\left[2\sqrt x\right]_1^4=2$$
Bei den trigonometrischen Funktionen kannst du dir merken:$$\sin(x){{{\text{ableiten}}\atop{\longrightarrow}}\atop{{\longleftarrow}\atop{\text{integrieren}}}}\cos(x){{{\text{ableiten}}\atop{\longrightarrow}}\atop{{\longleftarrow}\atop{\text{integrieren}}}}-\sin(x){{{\text{ableiten}}\atop{\longrightarrow}}\atop{{\longleftarrow}\atop{\text{integrieren}}}}-\cos(x){{{\text{ableiten}}\atop{\longrightarrow}}\atop{{\longleftarrow}\atop{\text{integrieren}}}}\sin(x)$$
Wenn du dann noch die Kettenregel beachtest, erhältst du:$$\int\limits_0^{\pi/2}\sin(2x)\,dx=\frac12\int\limits_0^{\pi/2}2\sin(2x)\,dx=\frac12\left[-\cos(2x)\right]_0^{\pi/2}=1$$$$\int\limits_0^\pi-2\sin(0,5x)\,dx=4\int\limits_0^\pi-\frac12\sin\left(\frac12x\right)\,dx=4\left[\cos\left(\frac12x\right)\right]_0^\pi=-4$$
