Partielle Integration bei Fourier-Koeffizient

Question

Aufgabe: Bestimme die reellen Fourier-Koeffizienten a_k und b_k

Sei f: ℝ→ℝ eine 2-periodische Funktion

f(t)= t+1 für -1≤t<0 und 1 für 0≤t<1

Problem/Ansatz:

Ich erhalte für a_k:

\( \int\limits_{-1}^{0} \) (t+1)cos(kπt) dt + \( \int\limits_{0}^{1} \) cos(kπt) dt

Soweit so gut. Nun sollen wir mit der partiellen Integration das erste Integral berechnen und da komme ich nicht weiter.

Comments

Wie habt Ihr die Formel für partielle Integration formuliert.

Es gibt dann 2 Möglichkeiten: Einer der beiden Faktoren ist zu integrieren, der andere zu differenzieren. Probiere beide aus. Fertig

Answer 1

und da komme ich nicht weiter.

Leider sehen wir nicht, wo du nicht weiterkommst.

Es gibt doch nur zwei Möglichkeiten für die partielle Integration:

u'(t)=(t+1) und v(t)=cos(kπt)

oder

u(t)=(t+1) und v'(t)=cos(kπt)

Welchen dieser beiden Ansätze hast du verwendet, und warum hat dieser Ansatz nicht funktioniert?

Comments

Ich habe u'(t)=(t+1) und v(t)=cos(kπt) verwendet

und die Formel aus der Vorlesung lautete:

\( \int\) u´v dx = uv - \( \int\) uv´ dx

Ich komme dann auf die Formel

1/2t²+t*cos(kπt) - \( \int\) 1/2t²+1*(-sin(kπt)

Was mache ich dann (sofern das überhaupt richtig ist) mit dem hinteren Integral?

In der Musterlösung steht als Ergebnis für a_k= \( \frac{1}{k²π²} \) - \( \frac{1}{k²π²} \) (-1)^k

Ich verstehe auch nicht, wie ich auf die k²π² komme.

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Ich habe u'(t)=(t+1) und v(t)=cos(kπt) verwendet

Damit hast du alles verschlimmbessert. Außerdem steht in deiner Rechnung ein Plus, wo ein Mal hingehört.

Wähle (t+1) als Funktion und cos(kπt) als Ableitung. Dann musst du nur noch

1*(Stammfunktion von cos(kπt))

integrieren.