Ich bitte um Kontrolle meiner Ergebnisse bezüglich der Arcuscosinusfunktion:
\( f(x)=\arccos (x) \)
DB, WB, Skizze, Nullstelle habe ich schon es geht nur noch um folgende Parameter:
1.) Extrema
2.) Wendepunkt
3.) Monotonie und Krümmungsverhalten der Funktion
Lösungen:
zu 1.)
Extrema:
max{cos-1(x)}=π bei x=-1
min{cos-1(x)}=0 bei x=1
zu 2.)
Wendepunkt:
W(0|0)
zu 3.)
Monotonie und Krümmungsverhalten der Funktion:
+ monoton fallend
+ konvex: von -1 (x-Achsenbereich) bis 1,5 (y-Achsenbereich)
+ konkav: von 1 (x-Achsenbereich) bis 1,5 (y-Achsenbereich)
Die Extrema und den Wendepunkt habe ich graphisch erfasst, aber wenn man die Extrema und den Wendepunkt(e) rechnerisch bestimmen möchte, muss man die 1. und 2. Ableitung bilden, stimmt's?
In der Aufgabe steht als Hinweis:
Nutzen Sie zur Bestimmung der ersten Ableitung von f(x) = arccos(x) den Satz von der Ableitung der Umkehrfunktion. Berücksichtigen Sie dabei die Beziehung sin2(x)+cos2(x) =1 in der Form sin(x) =√1−cos2(x), so dass in Ihren Ergebnissen keine trigonometrischen Funktionen mehr vorkommen.
\( f(x)=\arccos (x) b z w . \quad f(x)=\cos ^{-1}(x) \)
\( f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{\left(-x^{2}+1\right)}} \)
\( f^{\prime \prime}(x)=\frac{-x}{\sqrt{\left(-x^{2}+1\right)^{3}}} \)
