Aloha :)
1) Wir betrachten die Punktmenge$$K=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,|\,x^2+y^2\le4\}$$Der Abstand eines Punktes \((x;y)\) vom Ursprung des Koordinatensystems ist \(\sqrt{x^2+y^2}\). Die Punkte aus \(K\) haben also alle einen Abstand \(\le2\) vom Ursprung. Die Punktmenge \(K\) beschreibt also eine Kreisfläche mit Radius \(r=2\) mit dem Ursprung des Koordinatensystems als Mittelpunkt.
2) Wir betrachten das Integral$$J=\int\limits_K1\,dx\,dy$$Dabei werden infinitesimal kleine Rechtecke der Fläche \(dx\cdot dy\) innerhalb der Menge \(K\) summiert, das Ergebnis wird also die Fläche des Kreises \(K\) sein: \(J(K)=4\pi\).
3) Hier sollen wir nun wirklich rechnen. In Polarkoordinaten gilt:$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad\quad r\in[0;2]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$$Wichtig ist, dass das Flächenelment \(dx\,dy\) beim Übergang zu Polarkoordinaten verzerrt wird. Das wird durch den Faktor \(r\) vor \(dr\,d\varphi\) berücksichtigt. Das Integral lautet nun:
$$V=\int\limits_{K}(x^2+y^2)dx\,dy=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{r=0}^2(r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi)\,r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{V}=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{r=0}^2r^2\underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}\,r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{r=0}^2r^3\,dr\,d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{r=0}^2r^3\,dr$$$$\phantom{V}=\left[\varphi\right]_0^{2\pi}\cdot\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^2=2\pi\cdot\frac{2^4}{4}=8\pi$$
