Aloha :)
Die Funktion \(z(y)=1-y\) mit \(y\in[0;1]\) erzeugt bei Rotation um die \(z\)-Achse einen Rotationskörper. Durch dessen Oberfläche soll der Fluss des Vektorfeldes$$\vec A\coloneqq\operatorname{rot}\vec v=\operatorname{rot}\begin{pmatrix}-y\\x\\x+y+z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$$auf drei verschiedene Arten berechnet werden.
(1) Direkt über die Definition der Oberflächenintegrale.
In Zylinder-Koordinaten übernimmt der senkrechte Abstand \(r\) von der \(z\)-Achse die Rolle von \(y\), sodass die entstandene Mantelfläche durch folgenden Ortsvektor abgetastet werden kann:$$\vec r_M=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\1-r\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;1]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]$$Für \(r=0\) hat der Rotationskörper eine Spitze bei \((0|0|1)\). Für \(r=1\) ist die Grundfläche des Rotationskörpers ein Kreis mit Radius \(1\) in der \(xy\)-Ebene. Diese Bodenfläche müssen wir bei der Bestimmung des Flusses ebenfalls berücksichtigen, sie kann durch folgenden Ortsvektor abgetastet werden:$$\vec r_B=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;1]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]$$
Die zugehörigen Flächenelemente sind:$$d\vec f_M=\pm\left(\frac{\partial\vec r_M}{\partial r}\,dr\right)\times\left(\frac{\partial\vec r_M}{\partial\varphi}\,d\varphi\right)=\pm\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\\r\cos\varphi\\0\end{pmatrix}\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{d\vec f_M}=\pm\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\r\cos^2\varphi+r\sin^2\varphi\end{pmatrix}\,dr\,d\varphi=\pm\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\r\end{pmatrix}\,dr\,d\varphi$$Das Flächenelement soll nach außen gerichtet sein, daher ist das Pluszeichen als Vorzeichen zu wählen. Das Flächenelement \(d\vec f_B\) für den Boden ist entsprechend:$$d\vec f_B=\pm\left(\frac{\partial\vec r_B}{\partial r}\,dr\right)\times\left(\frac{\partial\vec r_B}{\partial\varphi}\,d\varphi\right)=\pm\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\\r\cos\varphi\\0\end{pmatrix}\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{d\vec f_B}=\pm\begin{pmatrix}0\\0\\r\cos^2\varphi+r\sin^2\varphi\end{pmatrix}\,dr\,d\varphi=\pm\begin{pmatrix}0\\0\\r\end{pmatrix}\,dr\,d\varphi$$Damit dieses Flächenelement nach außen zeigt, muss das negative Vorzeichen gewählt werden.
Damit können wir das Flussintegral formulieren:$$\Phi=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\vec A\,d\vec f_M+\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\vec A\,d\vec f_B$$$$\phantom{\Phi}=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\r\end{pmatrix}\,dr\,d\varphi+\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\-r\end{pmatrix}\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{\Phi}=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(r\cos\varphi-r\sin\varphi+2r\right)\,dr\,d\varphi+\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(-2r)\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{\Phi}=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(r\cos\varphi-r\sin\varphi\right)\,dr\,d\varphi=\int\limits_{0}^1dr\int\limits_{0}^{2\pi}\left(\cos\varphi-\sin\varphi\right)\,d\varphi$$$$\phantom{\Phi}=\left[r\right]_{0}^1\cdot\left[-\sin\varphi+\cos\varphi\right]_{0}^{2\pi}=1\cdot0=0$$
(2) Mit dem Satz von Stokes
Wir brauchen eine Beschreibung der Umrandung der Fläche. Dafür nehmen wir den "Boden-Vektor" von (1), halten aber den Radius bei \(1\) fest, da wir ja nur den Rand abtasten wollen:$$\vec r=\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Damit bestimmen wir den Fluss wie folgt:
$$\Phi=\iint\limits_F\vec A\,d\vec f=\iint\limits_F\operatorname{rot}\vec v\,d\vec f=\iint\limits_F\left(\vec\nabla\times\vec v\right)d\vec f=\iint\limits_F\left(d\vec f\times\vec\nabla\right)\vec v$$Jetzt wenden wir den Satz von Stokes an:$$\phantom{\Phi}=\oint\limits_{\partial F}d\vec r\,\vec v=\int\limits_0^{2\pi}\vec v\,\frac{d\vec r}{d\varphi}\,d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\\cos\varphi+\sin\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\0\end{pmatrix}d\varphi$$$$\phantom{\Phi}=\int\limits_0^{2\pi}\left(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi\right)d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\cos(2\varphi)\,d\varphi=\left[\frac12\sin(2\varphi)\right]_0^{2\pi}=0$$
(3) Mit dem Satz von Gauß
Hier geht es am schnellsten, weil \(\vec A=(1;-1;2)^T=\text{const}\) gilt:$$\Phi=\iint\limits_{F}\vec A\,d\vec f=\iiint\limits_V\operatorname{div}\vec A\,dV=\iiint\limits_V0\,dV=0$$
