Aloha :)
Du bist auf dem richtigen Weg. Ich steige da ein, wo du stehst:
$$\Phi=\iint\limits_{\delta V}\vec v\,d\vec f=\iiint\limits_V\operatorname{div}\vec v\,dV$$In Kugelkoordinaten beschreiben wir die Einheitskugel durch:$$r\in[0;1]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad\vartheta\in[0;\pi]\quad;\quad dV=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$
Die Divergenz des Vektorfeldes lautet:$$\operatorname{div}\vec v=0+0+3z^2=3z^2=3(r\cos\vartheta)^2=3r^2\cos^2\vartheta$$
Damit erhalten wir zum Ausrechnen:$$\Phi=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi}3r^2\cos^2\vartheta\cdot r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta=3\int\limits_{0}^1r^4\,dr\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{0}^{\pi}\cos^2\vartheta\sin\vartheta\,d\vartheta$$$$\phantom{\Phi}=3\cdot\left[\frac{r^5}{5}\right]_0^1\cdot\left[\varphi\right]_0^{2\pi}\cdot\left[-\frac13\cos^3\vartheta\right]_0^\pi=\frac15\cdot2\pi\cdot\left(-\cos^3\pi+\cos^30\right)=\frac{4\pi}{5}$$
