Induktionsbeweis 4 teilt 5^n +7

Question

Aufgabe:

Ich versuche gerade den Lösungsansatz meines Professors zu verstehen. Kann mir jemand erklären, weshalb er bei dem Beweis 5*7-5*7 nimmt?

hätte man es auch irgendwie anders lösen können?

LG

Problem/Ansatz:

Behauptung:
4 teilt \( 5^{n}+7 \) für alle \( n \in \mathrm{IN}_{0} \)
Ind.- Anf.: \( \quad \mathrm{n}=0 \) :
\( 5^{0}+7=1+7=8, \quad 4 \) teilt 8
Die Teilbarkeit für \( \mathrm{n}=0 \) gilt, d. \( \mathrm{h} \). die Galtigkeit des Induktionsanfangs ist nachgewiesen.
Ind.-Ann.: \( \quad 4 \) teilt \( 5^{\mathrm{n}}+7 \quad \) gilt für \( \mathrm{n} \in \mathbb{I N}_{0} \) beliebig, aber fest
Ind.-Schluss \( \mathrm{n} \longrightarrow \mathrm{n}+1: \) Zu zeigen: 4 teilt \( 5^{\text {n+1 }}+7 \)

\( \begin{aligned} \text { Beweis }: 5^{n+1}+7 &=5 \cdot 5^{n}+5 \cdot 7-5 \cdot 7+7 & & \\ &=5 \cdot\left(5^{n}+7\right)-28, & \text { nach Ind.-Ann. gilt } 5^{n}+7=4 m, m \in \mathbb{Z} \end{aligned} \)
\( =5 \cdot(4 \mathrm{~m})-4 \cdot 7 \)
\( =4 \cdot[5 \mathrm{~m}-7] \quad \) q.e.d.

Answer 1

Du weißt, dass 5^n + 7 durch 4 geteilt wird und sollst zeigen das 5^(n + 1) + 7 ebenso durch 4 geteilt wird.

Man kann also das Ziel verfolgen den Term 5^(n + 1) + 7 irgendwie in die Form mit dem Faktor 5^n + 7 zu bekommen. Das kann gelingen wenn man irgendwie die 5 wegbekommen bzw. ausklammern kann.

4 | 5^(n + 1) + 7

4 | 5 * 5^n + 7

4 | 5 * 5^n + 7 + 4 * 7

4 | 5 * 5^n + 5 * 7

4 | 5 * (5^n + 7)

Die letzte Zeile gilt jetzt, weil 5^n + 7 durch 4 teilbar ist. Und weil jetzt die letzte Zeile gilt, gilt eben auch die erste Zeile.

Comments

Danke für die Antwort, die 4*7 addiere ich, damit sie durch 4 teilbar sind?

Wenn es durch 5 teilbar sein müsste wären es dann 5*7?

LG

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Genau.

du darfst zu einer Zahl die durch 4 Teilbar ist immer ein Vielfaches von 4 dazuzählen. Damit bleibt die Zahl durch 4 teilbar. Umgekehrt, sollte eine Zahl nicht durch 4 teilbar sein dann ändert auch ein addieren eines vielfachen von 4 nichts daran.

An der Teilbarkeit ändert sich halt dadurch nichts.

Answer 2

Hallo

es gibt einen viel einfacheren direkten Beweis, wenn du das suchst: 5 lässt den Rest 1 bei Division durch 4, Reste werde beim Potenzieren potenziert , Rest 1 ergibt Rest 1^n  deshalb lässt 5^n den Rest 1  und 5^n+7 den Rest 8 und damit keinen Rest.

2 zu dem Beweis deines Prof: vorausgesetzt ist 5^n+7 durch 4 tb. du willst 5ⁿ⁺¹ +7  durch 4 tb. nun musst du irgendwie auf die Indvors. kommen   deshalb  schreibst du erstmal 5*5^n+7  um auf 5^n+7 zu kommen fehlt 5*7 also addierst du und musst es natürlich wieder abziehen. dann endlich steht da 5* die Induktionsvorassetzung und nur der Rest muss noch durch 4 tb sein .

zusammen: du musst irgendwie so umformen dass die Induktionsvoraussetzng benutz werden kann,

versuch jetzt mal zu zeigen, dass 5^n+3 immer durch 4 tb ist.

Die meisten Induktionsbeweise die für Teilbarkeit gemacht sind sind einfacher, wenn man mit Resten rechnet statt mit Induktion

Comments

Dankeschön (Y)

Answer 3

Hallo,

I.V.:  \( 5^{n}+7=4m \Rightarrow 5^n=4m-7\)

I.Schluss

 \( 5^{n+1}+7\\=5\cdot 5^n+7\\=5(4m-7)+7\\=20m-35+7\\=20m-28\\= 4(5m-7)\)

:-)