Wie prüfe ich eine Matrix auf Diagonalisierbarkeit?

Question

könnte mir vielleicht jemand anhand von dieser Matritze erklären wie man eine Matrix auf Diagonalisierbarkeit prüft? Ich habe das noch nicht wirklich verstanden.

Und was genau ist damit gemeint wenn da steht geben sie ggf. eine invertierbare Matritze S an,sodass S^-1 AS in Diagonalgestalt ist?

Was muss ich denn dafür machen?

A=\( \begin{pmatrix} -5 & 0 & 7 \\ 6 & 2 & -6 \\ -4 & 0 & 6 \end{pmatrix} \)

Answer 1

Schau dir dazu zunächst die Grundlagen in deinem Skript und/oder im Internet an.

https://www.mathebibel.de/matrix-diagonalisieren

Kannst du also das Charakteristische Polynom und dessen Nullstellen bestimmen?

Vergleichslösungen bekommst du z.B. von meinem Freund Wolfram Alpha

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28-5%2C0%2C7%29%2C%286%2C2%2C-6%29%2C%28-4%2C0%2C6%29%29

Comments

Naja wir haben ja

det\( \begin{pmatrix} -5-λ & 0 & 7 \\ 6 & 2-λ & -6 \\ -4 & 0 & 6-λ \end{pmatrix} \) =0

Daraus kriegen wir dann -(λ+1)(λ-2)² =0

⇒ λ₁ = -1 und λ₂ = 2 

Aber woher weiß ich hier jetzt ob das charakteristische Polynom jetzt vollständig zerfallen ist oder nicht?

Und wie bestimmt man die Eigenvektoren?

Könntest du mir da eventuell weiterhelfen?

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Im Skript steht leider nicht wirklich was dazu.

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Wenn du -(λ+1)(λ-2)^2 =0 aufgeschrieben hast ist das doch bereits eine völlständige Zerlegung in Linearfaktoren.

Um Eigenvektoren zu bestimmen setzt du in die Gleichung

$$\begin{pmatrix} -5 & 0 & 7 \\ 6 & 2 & -6 \\ -4 & 0 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$

Den Eigenwert k ein und löse mittels eines Gleichungssystems zum Eigenvektor auf.

Für k = 2 ergibt sich daher

[x, y, z] = r * [1, 0, 1] + s * [0, 1, 0]

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Im Skript steht leider nicht wirklich was dazu.

Wenn im Skript dazu nicht viel steht, dann wurden sicher Bücher zur Studienbegleitung genannt.

Wir haben damals eine Lerngruppe von 6 Studenten gehabt wobei wir untereinander darauf geachtet haben das wir mind zwei empfohlene Bücher zum Lernen zur Verfügung hatten.

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Bücher wurden uns auch keine genannt.

Naja soweit hab ich das jetzt denke ich verstanden.

Und was genau ist damit gemeint wenn da steht geben sie ggf. eine invertierbare Matritze S an, sodass S^-1 AS in Diagonalgestalt ist?

Kannst du mir vielleicht hier nochmal kurz erklären was damit gemeint ist und wie ich so eine invertierbare Matritze S finde?

Answer 2

Noch ein paar Informationen

Themen Zusammenfassung und App unter

https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

mit A:= {{-5, 0,7}, {6, 2,-6}, {-4, 0, 6}}

λ=-1 einfachen Nullstelle (algebraische Vielfachheit 1,
3-Rang(A- (-1)E)=1 geometrische Vielfachheit 1 == ein Eigenvektor

λ=2 dopplte Nullstelle (algebraische Vielfachheit 2,
3-Rang(A-2E)=2 geometrische Vielfachheit 2 == zwei Eigenvektoren

algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit ===> Diagonalisierbar

Vielleicht fallen Dir auch konkretere Fragen ein?