Aufgabe:
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5. (4 Zusatzpunkte) Die Beschleunigung \( x^{\prime \prime}(t) \) des Fahrzeugs
zum Zeitpunkt \( t \) setzt sich aus zwei Beiträgen zusammen: Die Beschleunigung durch die Feder ist proportional zur Auslenkung \( x(t) \). Die Reibung liefert einen Beitrag proportional zur Geschwindigkeit \( x^{\prime}(t) \).
In unserem Beispiel seien die Beiträge \( -4 \cdot x(t) \) und \( -2 \cdot x^{\prime}(t) \). Somit soll die Position \( x(t) \) des Fahrzeugs die folgende Differentialgleichung erfüllen:
$$ x^{\prime \prime}(t)=-4 \cdot x(t)-2 \cdot x^{\prime}(t) $$
(a) Zeigen Sie, dass jede der folgenden Funktionen diese Differentialgleichung löst:
$$ x_{1}(t)=\exp (-t) \cdot \sin (\sqrt{3} t) \quad x_{2}(t)=\exp (-t) \cdot \cos (\sqrt{3} t) $$
wie auch \( x(t)=c_{1} \cdot x_{1}(t)+c_{2} \cdot x_{2}(t) \) wobei \( c_{1}, c_{2} \in \mathbb{R} \).
(b) Zum Zeitpunkt \( t=0 \) ziehen wir den Wagen auf die Position \( x(0)=1 \) und geben ihm einen Schubs mit der Geschwindigkeit \( x^{\prime}(0)=1 \). Bestimmen Sie die Position \( x(t) \) als Funktion der Zeit \( t \geq 0 \).
(c) Erstellen Sie einen Plot der Lösung \( x(t) \).
Problem/Ansatz:
kann mir hier bitte jemand weiterhelfen? Mir fehlt der Ansatz
