Aufgabe zur Bevölkerungsentwicklung - Differentialgleichungen / Anfangswertproblem

Question

Aufgabe:

Diese Tabelle zeigt die Weltbevölkerung in den letzten Jahren:

Jahr	Bevölkerung in Milliarden
1950	\( 2.53 \)
1980	\( 4.45 \)
2010	\( 6.92 \)

a) Ein erstes mathematisches Modell zur Beschreibung des Wachstums der Weltbevölkerung lautet

\( x^{\prime}=a x \)

i) Geben Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung an und bestimmen Sie die Unbekannten, indem Sie die Messwerte von 1950 und 1980 benutzen.

ii) Welche Werte würden sich nach diesem Modell für die Jahre 2010 und 2100 ergeben?

b) Ein erweitertes Modell sei gegeben als

\( x^{\prime}=a x-b x^{2}, x(2010)=6.92 \)

mit \( a=0.025, b=0.0018 \).

i) Lösen Sie das gegebene Anfangswertproblem.

ii) Welcher Wert würde sich nach diesem Modell für das Jahr 2100 ergeben?

iii) Was ist die maximale Bevölkerungsgröße, die für diese Parameterwerte erreicht werden kann?

Answer 1

$$ x'(t)= a \cdot x(t) $$
$$ \frac{dx}{dt}= a \cdot x(t) $$
$$ \frac{1}{ x(t)}  \cdot \frac{dx}{dt}= a $$
beide Seiten integrieren mit $$ \int\,[\cdots]\, dt$$
$$\int\,  \frac{1}{ x(t)}  \cdot \frac{dx}{dt}\, dt= \int\,a \, dt$$
nun kannst Du bestimmt allein weitermachen, oder?

Comments

Ehrlich gesagt leider nicht... weiß nicht wie ich weiter ansetzen muss.

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Die Integrale erst mal bestimmen wäre ja eine Möglichkeit ...

$$\int\,  \frac{1}{ x(t)}  \cdot \frac{dx}{dt}\, dt= \int\,a \, dt$$
$$\int\,  \frac{1}{ x}  {dx}\, = \int\,a \, dt$$
was kommt da raus ?

Answer 2

Hi,
zu (a)
Die Dgl. \(  x'(t) = ax(t) \) hat die allg. Lösung \( x(t) = Ae^{at} \). Mit den Bedingungen \( x(1950) = 2.53 \) und \( x(1980) = 4.45 \) kann man die Konstanten \( A \) und \( a \) bestimmen.

zu (b)
Das ist die sogenannte logistische Dgl., ein spezial Typ der Bernoullischen Dgl. Die Lösung lautet
$$ y(t) = \frac{1}{ \left( \frac{1}{y_0}-\frac{a}{b} \right) e^{-a(t-t_0)} + \frac{b}{a} }  $$

siehe hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoullische_Differentialgleichung

Die Konstanten \( a \) und \( b \) sind in der Aufgabe vorgegeben, zusätzlich gilt \( t_0 = 2010 \) und \( y_0=6.92 \)

Comments

Ich habe noch nicht richtig verstanden wie das funktioniert mit den Konstanten bestimmen.

Kann das jemand erklären?

Lg

Answer 3

Hallo

zu b)

Du kannst die Aufgabe auch durch Trennung der Variablen lösen.