Differentialgleichungen Anfangswertproblem. z'(t) = -z(t) * (β(t) - v(t) + v(t)*z(t)) ,z(0)=1

Question

Ich soll zeigen, dass z(t) das

Anfangswertproblem

z'(t) = -z(t) * (β(t) - v(t) + v(t)*z(t)) ,z(0)=1

löst.

z(t) = x(t)/n(t)

mit x'(t) = -(β(t) + μ(t)) * x(t)

und n'(t) = -v(t) * (n(t) - x(t)) - μ(t)*n(t)

Würde es genügen, wenn man von z'(t), x'(t) und n'(t) die Stammfunktion berechnet und in

z(t)= x(t)/n(t) einsetzt?

Comments

"Würde es genügen, wenn man von z'(t), x'(t) und n'(t) die Stammfunktion berechnet und in

z(t)= x(t)/n(t) einsetzt? "

Ableiten ist normalerweise einfacher als integrieren. Es genügt, wenn du die angebliche Lösung ableitest (z.B. mit der Quotientenregel) und schaust, ob der Term rechts in der gegebenen DGL herauskommt. Dann solltest du möglicherweise irgendwie noch die Anfangsbedingung prüfen.

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Aber z(t) kenne ich ja nicht.

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Doch. Die Behauptung hast du hier:

"

z(t) = x(t)/n(t)

mit x'(t) = -(β(t) + μ(t)) * x(t)

und n'(t) = -v(t) * (n(t) - x(t)) - μ(t)*n(t)  "

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Also stammfunktion von x'(t) und n'(t) bilden einsetzen und ableiten?

Answer 1

leite z mithilfe der Quotientenregel ab und setze ein. Die hierfür benötigten Ableitungen x'(t) und n'(t) sind gegeben.