Differentialgleichungen Aufgabe y' + 2y = e^{-x}

Question

bitte um Ansatz für folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie y allgemein

y' + 2y = e^-x

Meine Lösung:

dx/dy + 2y = e^-x |: e^-x  |* dy | -2y

e^x *dx= -2y * dy + dy | Nun die Aufleitung bilden

∫ e^x *dx = dy ∫-2y +dy | Meine Problematik ist jetzt das +dy , hätte ich dy² würde ich einfach zwei mal aufleiten und hätte y als freistehendes Erhebnis heraus.

Luis

Comments

Hat keiner einen Ansatz ?

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Multipliziere mit \(e^{2x}\) und erhalte \(e^x=(y^\prime+2y)e^{2x}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}ye^{2x}\). Es folgt \(ye^{2x}=e^x+c\).

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glaube nicht, dass das zielführend ist

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Was lässt dich daran zweifeln?

y e^{2x} = e^x + c

y = e^x/e^{2x} + c/e^{2x}

= e^{-x} + c*e^{-2x}

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es gibt keine "Aufleitung". Benutze die Begriffe richtig!

Grüße,

M.B.

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grandioser Kommentar, hat mir bei dem Beantworten meiner Frage extrem geholfen.

Vielen Dank MB, du hast dir echt ein Lob verdient

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wie in fast jedem anderen Bereich auch, gibt es in der Mathematik Fachbegriffe.

Die hast Du zu kennen. Und die hast Du richtig zu benutzen.

Grüße,

M.B.

Answer 1

Du mußt hier zuerst die homog. DGL

y' +2y=0 mittels Trennung der Variablen lösen.

Comments

hab y' + 2y = 0 nicht 2x

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Sorry mußte kurz mal weg ,

hier nun der Weg:

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Trennung der Variablen ?????????????????

Das ist eine DGL mit konst. Koeffizienten, die kann man im Kopf lösen.

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ja sicher, aber in der Klausur doch nicht !! 

Dann bekommt er weniger Punkte .

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Dann löse eben schriftlich, aber trotzdem ohne Trennung.

Answer 2

Hallo Luisthebro,

y' + 2y = e^-x

Lineare DGL (1. Ordnung) mit konstanten Koeffizienten:

Allgemeine Lösung = allgemeine Lösung y_h der homogenen DGL + spezielle Lösung y_s der inhomogenen DGL

1. allgemeine Lösung der homogenen DGL y' + 2y = 0 :

der Ansatz y = c * e^rx  mit y ' = c*r * e^rx   ergibt beim Einsetzen in die DGL

 c*r * e^rx + 2 *   c * e^rx  = 0  ⇔ c * e^rx * ( r + 2) = 0  →  r = -2

( sogenannte "charakteristische Gleichung" )

y_h =  c * e^-2x

2. spezielle Lösung y_s der inhomogenen DGL :

Wegen  [ e^-x ] ' = - e^-x   ergibt sich y_s = e^-x  hier durch "genaues HInsehen"    (#) 

Allgemeine Lösung:    y = y_h + y_s = c * e^-2x +  e^-x

^--------

(#)     Wenn nicht, kann man der folgenden Tabelle für y_s einen Ansatz entnehmen          (hier y = a * e^-x ) und dessen Parameter durch Einsetzen in die DGL bestimmen.

http://www.eah-jena.de/~puhl/lehre/material/pdf/lindgl1.pdf

(die Variation der Konstanten von GL geht natürlich auch. Das hier beschriebene Verfahren lässt sich auf lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten problemlos erweitern und man benötigt keine Integration)

Gruß Wolfgang

Comments

die char. Gleichung ist \( \lambda+2 = 0 \), damit sofort die Lösung

$$ y_h(x) = Ce^{-2x} $$

Grüße,

M.B.

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Es soll auch Leute geben, die Wert darauf legen, dass die charakteristische Gleichung für den FS nicht "vom Himmel fällt".