Schwerpunkt der Spirale berechnen

Question

Berechnen Sie den Schwerpunkt \( \vec{S}=\left(S_{1}, S_{2}, S_{3}\right) \) der Spirale
$$ \vec{\gamma}:[0,9 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3} \quad t \mapsto\left(\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{array}\right) $$
mit Länge \( L(\gamma)=9 \sqrt{2} \pi \).
Es ist \( S_{1}= \)         \( S_{2}= \)      $$S_{3}=$$

Comments

Also bis jetzt weiß ich, dass man die Funktion ableitet:

\( \begin{pmatrix} -sin(t)\\cos(t)\\1 \end{pmatrix} \) und die Funktion, dann quadriert und dabei die Wurzel zieht

Wurzel sin²(t)+cos²(t)+1² = \( \sqrt{2} \) , weiter komme ich leider nicht..

Answer 1

Aloha :)

Wir glauben einfach mal, dass die Länge der Spirale \(L=9\sqrt2\,\pi\) ist. Die Spirale schlängelt sich 4,5-mal symmetrisch um die \(z\)-Achse. Daher ist \(S_x=0\). Für die \(S_z\)-Koordinate gilt:

$$S_z=\frac{1}{L}\int\limits_{\gamma}z\,dr=\frac{1}{9\sqrt2\,\pi}\int\limits_0^{9\pi}t\,\left\|\frac{d\vec r}{dt}\right\|\,dt=\frac{1}{9\sqrt2\,\pi}\int\limits_0^{9\pi}t\,\left\|\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\1\end{pmatrix}\right\|\,dt$$$$\phantom{S_z}=\frac{1}{9\sqrt2\,\pi}\int\limits_0^{9\pi}t\sqrt{\sin^2t+\cos^2t+1^2}\,dt=\frac{1}{9\cancel{\sqrt2}\,\pi}\int\limits_0^{9\pi}\cancel{\sqrt2}\,t\,dt=\frac{1}{9\pi}\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^{9\pi}$$$$\phantom{S_z}=\frac{1}{9\pi}\cdot\frac{81\pi^2}{2}=\frac{9\pi}{2}$$

Für die \(S_y\)-Koordinate folgt analog:

$$S_y=\frac{1}{L}\int\limits_{\gamma}y\,dr=\frac{1}{9\pi}\int\limits_0^{9\pi}\sin t\,dt=\frac{1}{9\pi}\left[-\cos t\right]_0^{9\pi}=\frac{1}{9\pi}\left(1+1\right)=\frac{2}{9\pi}$$

Comments

Sehe ich das richtig, das wenn ich \( \frac{1}{9Wurzel2 π} \) ....dt rechne, ich dann \( \frac{9pi}{2} \) herausbekomme?

Weil habe das in meinem Rechner gegeben und ich bekomme keine \( \frac{9pi}{2} \) heraus

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Hmm, ich habe das auch durch WolframAlpha nachrechnen lassen. Hast du vielleicht das \(\pi\) mit unter die Wurzel gezogen?

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\( \mid \frac{1}{9 \sqrt{2} \pi} \int \limits_{0}^{9 \pi} t \sqrt{\sin ^{2} t+\cos ^{2} t+1^{2} t} d t \)

so oder, kann auch sein dass ich falsch berechnet habe, natürlich ohne vorne diesen Strich ...

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Ja genau... Schau mal hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Cfrac%7B1%7D%7B9%5Csqrt2%5C%2C%5Cpi%7D%5Cint%5Climits_0%5E%7B9%5Cpi%7Dt%5Csqrt%7B%5Csin%5E2t%2B%5Ccos%5E2t%2B1%5E2%7D%5C%2Cdt

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mhh, komisch, naja was ich noch fragen wollte,

\(S_y=\frac{1}{L}\int\limits_{\gamma}y\,dr=\frac{1}{9\pi}\int\limits_0^{9\pi}\sin t\,dt=\frac{1}{9\pi}\left[-\cos t\right]_0^{9\pi}=\frac{1}{9\pi}\left(1+1\right)=\frac{2}{9\pi}\) ,

du hast hier sin anstelle von -sin und -cos anstelle von cos, weil abgeleitet war es ja,

 \( \begin{pmatrix} -sin t \\cos t\\1 \end{pmatrix} \), macht man was negativ war plus und was plus war negativ?

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Da habe ich nur schnell \(t\) für die \(z\)-Komponente durch \(\sin t\) für die \(y\)-Komponente ersetzt. Der Rest der Rechnung ist ja völlig identisch.

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Ah okay, Danke dir für die Hilfe :)