Wie berechne ich das Integral von f(x, y, z)=1/3(x^2+4y^2+3yz) mit dem Streckenzug von (1,0,2) nach (2,4,10)?

Question

Es sei \( \vec{\gamma} \) der Streckenzug von \( \left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right) \) nach \( \left(\begin{array}{c}2 \\ 4 \\ 10\end{array}\right) \). Gegeben ist die Funktion

\( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \quad f(x, y, z)=\frac{1}{3}\left(x^{2}+4 y^{2}+3 y z\right) \)

Berechnen Sie \( \int \limits_{\vec{\gamma}} f \mathrm{~d} s= \)

Answer 1

Aloha :)

Wir brauchen eine Strecke mit Startpunkt \((1;0;2)\) und Endpunkt \((2;4;10)\). Ihren Ortsvektor können wir mit einem Parameter \(t\) parametrisieren:$$\vec r(t)=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2-1\\4-0\\10-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+t\\4t\\2+8t\end{pmatrix}\quad;\quad t\in[0;1]$$

Damit können wir das gesuchte Integral bestimmen:

$$I=\int\limits_{\gamma}f\,ds=\int\limits_0^1 f(x(t),y(t),z(t))\cdot\left\|\frac{d\vec r}{dt}\right\|\,dt=\int\limits_0^1 f(x(t),y(t),z(t))\cdot\left\|\begin{pmatrix}1\\4\\8\end{pmatrix}\right\|\,dt$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1\frac{1}{3}\left({\underbrace{(1+t)}_{=x}}^2+4\cdot{\underbrace{(4t)}_{=y}}^2+3\cdot\underbrace{4t}_{=y}\cdot\underbrace{(2+8t)}_{=z}\right)\sqrt{1^2+4^2+8^2}\,dt$$$$\phantom{I}=\frac{1}{3}\int\limits_0^1\left(1+2t+t^2+64t^2+24t+96t^2\right)\sqrt{81}\,dt=3\int\limits_0^1\left(1+26t+161t^2\right)\,dt$$$$\phantom{I}=3\left[t+13t^2+\frac{161}{3}t^2\right]_0^1=3+39+161=203$$

Comments

Wie kommst du bei (1+t)²+4*(4t)²+3*4t*(2+8t) , auf die 4*(4t) und 3*4t?

Weil ja oben, \( \begin{pmatrix} 1+t\\4t\\2+8t \end{pmatrix} \) steht

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Ja genau, bei der Integration laufen wir die Strecke \(\gamma\) entlang, sodass$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+t\\4t\\2+8t\end{pmatrix}$$Dadurch konnten wir die Koordinaten \(x,y,z\) durch den Parameter \(t\) ersetzen.

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\(\phantom{I}=\int\limits_0^1\frac{1}{3}\left({\underbrace{(1+t)}_{=x}}^2+4\cdot{\underbrace{(4t)}_{=y}}^2+3\cdot\underbrace{4t}_{=y}\cdot\underbrace{(2+8t)}_{=z}\right)\sqrt{1^2+4^2+8^2}\,dt\)

Genau und die 4*(4t)²  ist die 4 davor zugesetzt worden, wenn ja woher? und woher kommt man auf 3*4t, weil alles andere ist ja von \( \begin{pmatrix} 1+t\\4t\\2+8t \end{pmatrix} \) dem hier und die anderen stehen nicht da :)

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Schau dir mal die Funktionsgleichung von \(f\) genauer an:$$f(x;y)=\frac13\left(x^2+\boxed{4}\cdot y^2+\boxed{3}\cdot yz\right)$$

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Oh sry, okay dann ist es verständlich. Bedanke mich sehr bei dir!!

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wie kommst du auf t ist zwischen 0 und 1