Kurvenintegral 1. Art bei einem Streckenzug?

Question

Der Weg Γ sei der Streckenzug der die Punkte (1,-2) (0,0) und (1,2) verbindet. Berechnen Sie für die skalare Funktion f:[-1,∞]×ℝ→ℝ, f(x,y)=(y/2)²*√(1+x) das Kurvenintegral 1. Art.

Ich habe bisher nur mit kurven und bogenstücken das kurvenintegral berechnet. Wie gehe ich bei diesem streckenzug vor der ja quasi aus 2 Geraden entspricht und wie parametrisiere ich das?

Answer 1

Wenn der Weg aus einzelnen Stücken besteht, werden einfach die jeweilige Integrale addiert.

Zur Parametrisierung von Strecken: Das Geradenstück von \((x_1,y_1)\) nach \((x_2,y_2)\) kann, wie aus der Schule bekannt, beschrieben werden als Graph von \(f:[x_1,x_2]\rightarrow \R\) mit

 \(f(x)=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)+y_1\)

und die Kurve ist dann \(\varphi(t)=(t,f(t))\) für \(t\in [x_1,x_2]\).

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Also sind das ja Stücke der Strecken f(x)=2x und f(x)=-2x

Kann ich dann φ:[0,1]→ℝ²,  φ(t)=(t,-2t) und φ:[0,1]→ℝ², φ(t)=(t,2t) as Parametrisierung wählen? Also die Geradengleichungen brauch ich dann doch gar nicht mehr um das Kurvenintegral zu berechnen?

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Ich hab in der Antwort nochmal editiert, um die Kurve ins Spiel zu bringen.

Deine Idee ist im Prinzip richtig (die Geradengleichung hilft, wenn die Zahlen komplizierter sind).

Du brauchst hier zwei(!) Kurven, nenne die \(\varphi_1\) und \(\varphi_2\). Und laut Aufgabenstellung soll es von (1,-2) nach (0,0) und dann von (0,0) nach (1,2) gehen.
Die Reihenfolge muss stimmen. Prüfe also Deine \(\varphi\)'s nochmal genau und ändere sie, falls nötig, ab.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Der geradlinige Weg \(\vec r_1\) von \((1|-2)\) nach \((0|0)\) ist$$\vec r_1=\binom{1}{-2}+t\cdot\binom{-1}{2}=\binom{1-t}{-2+2t}\quad;\quad t\in[0;1]$$Der geradlinige Weg \(\vec r_1\) von \((0|0)\) nach \((1|2)\) ist$$\vec r_2=t\cdot\binom{1}{2}=\binom{t}{2t}\quad;\quad t\in[0;1]$$

Das gesuchte Integral ist daher:$$I=\int\limits_{(1|-2)}^{(0|0)}f(x;y)\,ds+\int\limits_{(0|0)}^{(1|2)}f(x;y)\,ds$$$$I=\int\limits_0^1f(x=1-t;y=-2+2t)\,\left\|\frac{d\vec r_1}{dt}\right\|\,dt+\int\limits_0^1f(x=t;y=2t)\,\left\|\frac{d\vec r_2}{dt}\right\|\,dt$$$$I=\int\limits_0^1\left(\frac{-2+2t}{2}\right)^2\sqrt{1+(1-t)}\left\|\binom{-1}{2}\right\|\,dt+\int\limits_0^1\left(\frac{2t}{2}\right)^2\sqrt{1+t}\left\|\binom{1}{2}\right\|\,dt$$$$I=\sqrt5\int\limits_0^1(t-1)^2(2-t)^{\frac12}\,dt+\sqrt5\int\limits_0^1t^2(1+t)^{\frac12}\,dt$$

Die Integrale kannst du mit partieller Integration lösen:

$$\begin{array}{c|c|r} & \text{ableiten} & \text{integrieren}\\\hline & & (2-t)^{1/2}\\[1ex]+ & (t-1)^2 & -\frac23(2-t)^{3/2}\\[1ex] - & 2(t-1) & \frac{4}{15}(2-t)^{5/2}\\[1ex]+ & 2 & -\frac{8}{105}(2-t)^{7/2}\end{array}\qquad\begin{array}{c|c|r} & \text{ableiten} & \text{integrieren}\\\hline & & (1+t)^{1/2}\\[1ex]+ & t^2 & \frac23(1+t)^{3/2}\\[1ex] - & 2t & \frac{4}{15}(1+t)^{5/2}\\[1ex]+ & 2 & \frac{8}{105}(1+t)^{7/2}\end{array}$$

Damit gilt:$$I=\sqrt5\left[-(t-1)^2\frac23(2-t)^{3/2}-\frac{8}{15}(t-1)(2-t)^{5/2}-\frac{16}{105}(2-t)^{7/2}\right]_0^1$$$$\phantom I+\sqrt5\left[\frac23t^2(1+t)^{3/2}-\frac{8}{15}t(1+t)^{\frac52}+\frac{16}{105}(1+t)^{7/2}\right]_0^1$$$$\phantom I=\sqrt5\left(-\frac{16}{105}+\frac{44\sqrt2}{105}\right)+\sqrt5\left(\frac{44\sqrt2}{105}-\frac{16}{105}\right)=\frac{88\sqrt2-32}{105}\,\sqrt5$$

Answer 3

Beachte zunächst \(f(x,-y) = f(x,y)\) und das Kurvenintegral 1. Art ist unabhängig von der Durchlaufrichtung der Kurve.

Es genügt also den Streckenzug \(\sigma\) von \((0,0)\) bis \((1,2)\) zu parametrisieren und dann das zugehörige Kurvenintegral zu verdoppeln.

Mit \(\sigma:\, (x,y)=(t,2t)\) mit \(t\in [0,1]\) erhältst du also

\(\int_{\Gamma}(f(x,y)) \, ds = 2\int_0^1 (2t/2)^2\cdot\sqrt{1+t}\cdot\sqrt{1+2^2}\, dt\)

\( =2\sqrt 5 \int_0^1 t^2\sqrt{1+t} \, dt \approx 1.9688\)

Hier kannst du es numerisch nachrechnen lassen.