Was bedeutet nun eigentlich x- ∞ f(x)=y?

Question

Aufgabe:

X geht gegen Unendlich

Problem/Ansatz:

Huhu, ich habe mal eine recht harmlose Frage. Für eine gegebene Funktion f bedeutet x->n f(x)=y ja, dass für alle Epsilon > 0 ein delta existiert, sodass für alle x innerhalb der Delta-Umgebung von n gilt, dass der Abstand von f(x)-y < Epsilon. Was bedeutet nun eigentlich x-> ∞ f(x)=y? Ich vermute, dass das folgendes bedeutet: für alle Epsilon > 0 existiert ein n aus den natürlichen Zahlen, sodass für alle x>=n gilt, dass der Abstand von f(x)-y < Epsilon. Kann das jemand bestätigen oder mich eventuell verbessern? Lieben Dank!

Answer 1

hallo

die Aussage  f(x) geht gegen y für x gegen oo ist nicht sinnvoll, meinst du f(x) hat die Asymptote y=x? etwa wenn man f(x)=√(1+x^2) betrachtet  oder y=x^2/(x+1) 

sonst musst du sagen was du meinst.

und ja der Unterschied zwischen f(x) und x wird in dem Fall  der Asymptote immer kleiner und man kann ein x angeben, ab dem er kleiner als ein vorgegebenes epsilon ist.

Gruß lul

Comments

Hallo lul, vielen Dank für dein Engagement!  Also ich probier es nochmal. Wir haben x -> n f(x)=y folgendermaßen festgelegt:

∀ ε > 0 ∋ d > 0 ∀ x ∈ (n-d,n+d): If(x)-yI<∈ . Ungefähr kann man es also darauf runterbrechen: wir kommen y mit f(x) beliebig nahe, wenn wir nur mit x nah genug an n herangehen. Nun kann n eine beliebige Zahl sein. n kann allerdings auch unendlich sein; und genau dazu war meine Frage. Für mich würde es Sinn machen x -> ∞ f(x)=y so zu übersetzen: wir kommen y mit f(x) beliebig nahe; wir müssen nur x groß genug wählen. Formal würde ich es so aufschreiben: ∀ ε > 0 ∋ n0 ∈ ℕ ∀ n >= n0: If(n)-yI<∈ . Meine Frage ist nun, ob das richtig ist. Also die Schreibweise  x -> ∞ f(x)=y sollte schon Sinn ergeben. So steht es sogar in Büchern. Die Frage ist nur noch, was genau es bedeutet

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Hallo,

die Idee ist richtig, allerdings ist die Beschränkung auf natürliche Zahlen falsch. Also

$$\lim_{x \to \infty}f(x)=y :\iff $$$$  \forall \epsilon>0 \exists z \in \mathbb{R}:\forall x \in \mathbb{R}: x>z \Rightarrow |f(x)-y| < \epsilon$$

Gruß Mathhilf

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Cool, ich danke dir Mathhilf! :)