Verwendung der Potenzreihen

Question

Aufgabe:

Zeigen sie, dass die Ableitung von sin(x) gleich cos(x) ist, unter der Verwendung der Potenzreihen, die die jeweilige Funktion definiert.

Comments

Vielleicht kannst Du uns die Arbeit erleichtern und schonmal hierhin die Potenzreihen für sin und cos schreiben. Vielleicht siehst Du dann auch gleich die Lösung

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Sinus ist gegeben durch

$$ \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $$

Jetzt musst du nur begründen warum die Ableitung mit dem Reihenlimes vertauscht

$$ \frac{\textrm d}{\textrm dx} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \stackrel{?}{=} \sum_{k=0}^\infty \frac{\textrm d}{\textrm dx} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} $$

Dafür gibt es bekannte Kriterien, z.B. aus Forsters Analysis 1 Buch

Als \( f_n \) nimmst du dabei die Folge der Partialsummen:$$ f_n(x) := \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} $$damit ist dann $$ f(x) := \sin(x) \stackrel{\text{p.w.}}{=} \lim_{n\to\infty} f_n $$
Bei endlichen Summen ist es ja kein Problem die Ableitung mit der Summation zu vertauschen, deshalb kannst du \( f_n' \) leicht berechnen.

Answer 1

\( \frac{d}{dx} \) \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{ (-1)^k \( \frac{x^2k+1}{(2k+1)!} \) } \) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{ (-1)^k \( \frac{(2k+1)x^2k}{(2k+1)!} \) } \)  = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{ (-1)^k \( \frac{x^2k}{(2k)!} \) } \) = cos(x)