Zeigen Sie unter Verwendung des Hauptsatzes

Question

Aufgabe:

(a) Seien \( a, b \in \mathbb{R} \) mit \( a<b \) und \( f, g \in C^{1}([a, b]) \) mit \( f(a) \leq g(a) \) und \( f^{\prime}(x) \leq g^{\prime}(x) \) für alle \( x \in[a, b] \). Zeigen Sie unter Verwendung des Hauptsatzes, dass \( f(x) \leq g(x) \) für alle \( x \in[a, b] \).

(b) Seien \( a, b \in \mathbb{R} \) mit \( a<b \) und \( f \in C([a, b]) \). Zeigen Sie
\( \lim \limits_{\delta \rightarrow 0} \frac{1}{2 \delta} \int \limits_{x-\delta}^{x+\delta} f(t) \mathrm{d} t=f(x) \quad \text { für alle } x \in(a, b) . \)

Problem/Ansatz:

Hallo an alle ich bräuchte mal Hilfe bei dieser Aufgabe komme nicht weiter. Habe einfach keine Idee wie man das angehen könnte

Comments

Hallo

keine Idee? aber die steht da doch Hauptsatz!

Gruß lul

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Tipp a) wähle als obere Grenze des Integrals x :)

Answer 1

Zu (a)

Es gilt doch $$ f(x)-f(a) = \int_a^x f'(s) ds \le \int_a^x g'(s) ds = g(x) - g(a) $$

Zu (b)

Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gilt

$$ \frac{1}{2 \delta} \int_{x-\delta}^{x+\delta} f(t) dt = \frac{1}{2 \delta} \cdot f(\xi) \cdot 2 \delta =  f(\xi) $$ mit

\( x-\delta \le \xi \le x+\delta \)

Jetzt den Grenzübergang durchführen.