a) Betrachte h(x)=g(x)-f(x) also auch \( h \in C^{1}([a, b]) \).
Zu zeigen wäre dann h(x)≥0 für alle x∈[a,b].
Es ist h(a) ≥0 # wegen \( f(a) \leq g(a) \).
Nach dem Mittelwertsatz gilt für alle x∈[a,b] : Es gibt ein z∈[a,x]
mit \( \frac{h(x)-h(a)}{x-a}=h'(z) \) ==> h(x)-h(a) =(x-a)*h'(z) ##
wegen x∈[a,b] folgt x-a≥0 und wegen \( f^{\prime}(x) \leq g^{\prime}(x) \)
für alle x∈[a,b] auch \( f^{\prime}(z) \leq g^{\prime}(z) \)
also h'(z)= g'(z) -f'(z) ≥0. Also steht rechts in ##
das Produkt zweier nicht-negativer Zahlen, also ist auch
h(x) - h(a) nicht negativ, somit h(x) ≥ h(a) ≥ 0 siehe #.
Damit ist h(x)≥0 für alle x∈[a,b] oder eben \( f(x) \leq g(x) \).
b) entsprechend mit dem Mittelwertsatz der Int.rechnung:
Sei x ∈ (a;b) ==>
Es gibt ein z∈[x-δ;x+δ] ∩ [a;b] mit \( \int \limits_{x-δ}^{x+δ} f(t)dt=f(z)*2δ \)
Also \( \frac{1}{2 \delta} \int \limits_{x-\delta}^{x+\delta} f(t) \mathrm{d} t=f(z) \) mit z∈[x-δ;x+δ]∩ [a;b] .
Für δ→0 geht also z gegen x und wegen der
Stetigkeit von f geht f(z) gegen f(x). q.e.d.
