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ich habe folgendes Problem.

Problem/Ansatz:

gegeben sind:

Produktmenge

D:=[1,2,3] x [2,4] ⊂ ℕ2

und die Abbildung

ƒ : D→[1/4, 1/2, 3/4, 1, 3/2, 2] ⊂ ℚ, (x,y) ↦ x/y

Nun soll entschieden und begründet werden, ob die Abbildung ƒ injektiv oder surjektiv ist.

Für einen Tipp wäre ich euch sehr verbunden.

Besten Dank und freundliche Grüße

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2 Antworten

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Berechne für jedes d ∈ D den Funktionswert ƒ(d).

Wende die Definitionen von Injektivität und Surjektivität an.

Avatar von 107 k 🚀
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Aloha :)

Die Funktion ist überschaubar, es gibt nur 6 Zuordnungen:$$f(1,2)=\frac{1}{2}\;;\;f(1,4)=\frac14\;;\;f(2,2)=1\;;\;f(2,4)=\frac12\;;\;f(3,2)=\frac32\;;\;f(3,4)=\frac34$$

Zur Beurteilung der Injektivität oder Surjektivität ist die Wertemenge \(W\) entscheidend:$$W=\left\{\frac14\,\big|\,\frac12\,\big|\,\frac34\,\big|\,1\,\big|\,\frac32\,\big|\,2\right\}$$

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Wertemenge höchstens 1-mal getroffen wird. Wegen \((1,2)=\frac12\) und \(f(2,4)=\frac12\) wird das Element \(\frac12\) der Wertemenge doppelt getroffen. Daher ist die Abbildung nicht injektiv.

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Wertemenge mindestens 1-mal getroffen wird. Da keiner der sechs aufgelisteten Funktionswerte auf das Element \(2\) der Wertemenge abbildet, wird die \(2\) nicht getroffen. Daher ist die Abbildung auch nicht surjektiv.

Avatar von 152 k 🚀

herzlichen Dank!

Sehr verständlich und anschaulich erklärt.

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