Aufgabe über Extrema: a,x_0,y_0,z_0 bestimmen

Question

Die Funktion \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) sei gegeben durch die Zuordnung \( f(x, y, z)=x y z \).                                                 Unter der Nebenbedingung \( x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0 \) nimmt \( f \) ihr Maximum \( \frac{1}{3 \sqrt{a}} \) an, wobei \( a= \)  ____   Im positiven Oktant \( (x, y, z>0) \) wird das Maximum bei

$$ \left(\frac{1}{\sqrt{x_{0}}}, \frac{1}{\sqrt{y_{0}}}, \frac{1}{\sqrt{z_{0}}}\right) $$
angenommen, wobei \( x_{0}=\quad , y_{0}=\quad \) und \( z_{0}=\quad \) gilt.

Answer 1

Hallo,

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Comments

Wie bist du auf die Werte in der Matrix gekommen?

\( \begin{pmatrix} yz & 2x \\ xz & 2y \end{pmatrix} \)

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xyz partiell abgeleitet nach x ------>yz

x^2+y^2+z^-1=0 partiell abgeleitet nach x ------>2x

analog fy unf gy

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Ahh okay verstehe, und die Determinante davon vom ersten ist ja 2y^2z-2x^2z du hast aber was anderes da stehen... berechne ich was falsch ?

und weiter unten hast du ja x^2+y^2+z^2-1 = 0 und dann 3x^2 =1 wie kommst du darauf und wie weiß ich das für x_0, y_0 und z_0 =3 ist weil das hat man doch nur für x berechnet oder?

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y^2=x^2 und z^2=x^2 wird in x^2+y^2+z^2-1 = 0 eingesetzt

->

x^2 +x^2+x^2 -1=0

3 x^2 -1=0

usw, siehe oben

Es steht in der Frage:

wird das Maximum bei

\( \left(\frac{1}{\sqrt{x_{0}}}, \frac{1}{\sqrt{y_{0}}}, \frac{1}{\sqrt{z_{0}}}\right) \)

und ich habe ± \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) als Ergebnis berechnet.

Wenn Du das vergleichst , kommst Du auf den Wert 3

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Also damit ich das richtig verstehe, du hast einfach die x^2+x^2+x^2-1=0 in 3x^2-1=0 zusammengefasst für x und das gleiche macht man für y und z?

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so ist es.

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Okay, und da 3 dabei rauskommt, ist auch 3 die Lösung?

Wieso macht man aber dann oben die Determinantenmethode..wenn man eh die normale Glecihung zusammenfasst und das Ergebnis hat? :)

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ist auch 3 die Lösung? JA

Wieso macht man aber dann oben die Determinantenmethode

die Methode heißt eben so, ich hab das nicht erfunden :),

es kommen ja auch Determinanten vor