Wie berechne ich die Paramterisierung dieser Aufgabe?

Question

Wir betrachten die Rotationsfläche \( F \), die entsteht, wenn wir den Graphen \( x=1+e^{z} \) auf \( [0,1] \) um die \( z \) -Achse rotieren. Bestimmen Sie die zugehörige Parametrisierung:
$$ \vec{x}(\varphi, v)=\left(\begin{array}{c} (1+f(v)) \cos (\varphi) \\ (1+f(v)) \sin (\varphi) \\ g(v) \end{array}\right) \quad \varphi \in[0, a], v \in[b, c] $$
Dann ist \( f(v)=            g(v)=          \quad a= \)         \(\quad b= \)

Answer 1

Aloha :)

Die Rotation um die \(z\)-Achse, kann man bequem in Zylinderkoordinaten beschreiben. Der Radius \(r\) tritt dann an die Stelle von \(x\):$$\vec x(t)=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r=1+e^z\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad z\in[0;1]$$Das bringen wir auf die gesuchte Form:

$$\vec x(t)=\begin{pmatrix}\left(1+e^z\right)\cos\varphi\\\left(1+e^z\right)\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad z\in[0;1]$$

Wir identifizieren \(v=z\), sodass:$$f(v)=e^v\quad;\quad g(v)=v\quad;\quad a=2\pi\quad;\quad b=0\quad;\quad c=1$$

Comments

Wie kommst du oben auf [0;2π], da hat man a ja noch nicht berechnet und wie kommt man im allgemeinen auf die Ergebnisse?