Verdoppelungszeit von Bakterien

Question

Aufgabe:

a) Die Masse eines Escherichia-coli-Bakteriums beträgt 10–12 g. Die Verdoppelungszeit des
Bakteriums beträgt unter bestimmten Voraussetzungen 17 Minuten.
– Berechnen Sie die Masse in Tonnen, die durch Zellteilung aus einem Bakterium dieser Art nach 17 Stunden (theoretisch) entstanden ist.
b) Eine Menge von 100 Lactobacillus-acidophilus-Bakterien vermehrte sich innerhalb von 6 Stunden auf eine Anzahl von 3 533 Bakterien.
– Ermitteln Sie aus dieser Angabe die genaue Verdoppelungszeit in Minuten…
c) Die Verdoppelungszeit des Streptococcus-lactis-Bakteriums beträgt 26 Minuten. Zu Beginn (t = 0) sind 100 Bakterien vorhanden.
– Erstellen Sie eine Gleichung derjenigen Funktion, die das exponentielle Wachstumsverhalten dieser Bakteriumart beschreibt, mit folgenden Parametern:
t … Zeit in Minuten
B(t) … Anzahl der Bakterien

Problem/Ansatz:

a) Masse in Gramm: 10^–12 ∙ 2^60 ≈ 1 152 921,5 g. Dies entspricht einer Masse von etwa 1,15 t.…
Wie sie anhand der Angabe bei der Lösung auf *2^60 kommen hab ich keine Idee wäre toll wenn mir das wer erklären kann!

b.) aus 3533=100*a^6*60 ergibt den Änderungsfaktor 1,009951 pro Minute, was ich auch errechnet hatte
Warum dann weiter mit 2=1,009951^t gerechnet wird, ist mir ein Rätsel? Ist das wegen der Verdoppelungszeit?

c.) Funktion: B(t) = 100 ∙ 2 1/26 ·t
heißt hier 2 wieder Verdoppelungszeit und 1/26 wegen 26 Minuten?

Answer 1

Wie sie anhand der Angabe bei der Lösung auf *260 kommen hab ich keine Idee wäre toll wenn mir das wer erklären kann!

Du hast 17 h a 60 min und eine Verdopplungszeit von 17 min.

Das gibt im exponenten

(17 h * 60 min/h) / (17 min) = (17 * 60 min) / (17 min) = 60

Warum dann weiter mit 2=1,009951t gerechnet wird, ist mir ein Rätsel? Ist das wegen der Verdoppelungszeit?

Das lässt sich geschickter machen. Ich rechne das unten vor.

heißt hier 2 wieder Verdoppelungszeit und 1/26 wegen 26 Minuten?

Ja genau. Die 2 steht immer für eine Verdopplung. und 1/26 steht für die Verdopplungszeit von 26.

Comments

a)

10^(-12)·2^(17·60/17) = 1152922 g = 1.153 t

b)

100·2^(6·60/t) = 3533 → t = 70.00 min

c)

B(t) = 100·2^(t/26)

Answer 2

Vorab achte bitte darauf, dass deine Frage gut lesbar ist, bevor du sie abschickst.

Die Masse eines Escherichia-coli-Bakteriums beträgt 10–12 g

Ich lese da “Die Masse eines Escherichia-coli-Bakteriums beträgt 10 bis 12 Gramm.” Das wäre schlecht. also: 10^-12g ist das, was wir gerne hätten.
Wenn sich ein Bakterium nun alle 17 Minuten teilt, und wir diesen Teilungsprozess 17 Stunden lang beobachten, müssen wir schauen, wie viele Teilungsvorgänge ablaufen, also:
\(\frac{17h}{17min}=\frac{17\cdot 60min}{17min}=60\).
Die Masse verdoppelt sich also 60 mal (hier möchte ich nochmal auf das Wort “theoretisch” in der Aufgabenstellung eingehen. Bakterien verdoppeln bei einer Zellteilung nicht sofort ihr Gewicht, sondern brauchen erst einen Moment, um wieder auf die normale Größe anzuwachsen.)
Es ergibt sich also (näherungsweise): 10^-12g \( \cdot\) 2⁶⁰ ≈ 1.152.921,5g

Ist das wegen der Verdoppelungszeit?

Ja.

und 1/26 wegen 26 Minuten?

Ja. Du möchtest das Wachstum der Bakterien pro Minute gerne haben, weißt aber, dass sie sich alle 26 Minuten verdoppeln. Dann müssen sie sich pro Minute um den Faktor \( \frac{1}{26}\) vermehren. Dann hast du nämlich, wenn du 26 in die Funktionsgleichung einsetzt die Menge, genau die doppelte Anzahl an Bakterien; es ist also ein Verdopplungsschritt abgelaufen.

Grüße,
Connor

Answer 3

a)

10^(-12)*2^(17*60/17) = 1,15*10^6g = 1,15 t

b) 100*a^(6*60)= 3533

a= 35,33^(1/360)

a^t = 2

t= ln2/lna = 70 min

c) f(t)= 100*2^(t/26)= 100*e^(k*t) mit k= ln(2^(1/16))