Wie berechne ich die Divergenz von v im Punkt x=(2,4,0)?

Question

Gegeben sei die Funktion \( \vec{v}: D \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit \( \left.D=\right] 0, \infty[\times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) und
\( \vec{v}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(\begin{array}{c}\ln \left(x_{1}\right) x_{2} \\ x_{1}^{2} x_{2} \\ \cos \left(x_{3}\right) x_{1}\end{array}\right) . \)
Berechnen Sie die Divergenz von \( \vec{v} \) im Punkt \( \vec{x}=(2,4,0)^{\top} \) :
\( \operatorname{div}_{\vec{x}} \vec{v}= \)

Answer 1

Aloha :)

$$\operatorname{div}\vec v=\frac{\partial v_1}{\partial x_1}+\frac{\partial v_2}{\partial x_2}+\frac{\partial v_3}{\partial x_3}$$$$\phantom{\operatorname{div}\vec v}=\frac{\partial}{\partial x_1}\left(\ln(x_1)x_2\right)+\frac{\partial}{\partial x_2}\left(x_1^2x_2\right)+\frac{\partial}{\partial x_3}\left(\cos(x_3)x_1\right)$$$$\phantom{\operatorname{div}\vec v}=\frac{x_2}{x_1}+x_1^2-x_1\sin(x_3)$$

Speziell im Punkt \((2;4;0)\) lautet die Divergenz also:

$$\operatorname{div}\vec v(2;4;0)=\frac42+2^2-2\sin(0)=2+4=6$$

Answer 2

Bestimme für jedes \(n\in \{1,2,3\}\) die partielle Ableitung der \(n\)ten Komponente nach der \(n\)ten Variable. Addiere die Ergebnisse.

Comments

Also ich setzte die Punkte (2,4,0) für jeweils x1,x2 und x3 und berechne dann die partielle Ableitung und davon dann addiere ich die Ergebnisse?

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Also ich setzte die Punkte (2,4,0) für jeweils x1,x2 und x3 und berechne dann die partielle Ableitung

Einsetzen ergibt \(\vec{v}(2,4,0) = \begin{pmatrix}4\cdot \ln 2\\16\\2\end{pmatrix}\)

Ableiten ergibt

        \(\begin{aligned}\frac{\partial}{\partial x_1}\begin{pmatrix}4\cdot \ln 2\\16\\2\end{pmatrix}& = 0\\\frac{\partial}{\partial x_2}\begin{pmatrix}4\cdot \ln 2\\16\\2\end{pmatrix}& = 0\\\frac{\partial}{\partial x_3}\begin{pmatrix}4\cdot \ln 2\\16\\2\end{pmatrix}& = 0\end{aligned}\)

Überleg mal ganz genau, ob das Sinn ergibt. Insbesondere, wann wären die partiellen Ableitungen nicht \(0\)?