Wie viele Läufer(M) und welche Startnummer hatte der Läufer(N)

Question

An einem Marathonlauf nahmen mehr als 100 , aber weniger als 1000 Läufer teil. Jeder Teilnehmer bekam eine Startnummer. Sie begannen bei 1 und dann fortlaufend bis zur Anzahl der Teilnehmer. Im Ziel stellte der Sieger fest, dass die Summe der Startnummern kleiner als seine, exakt der Summe der Startnummern größer als seine entspricht.
Welche Startnummer hatte der Sieger ( M) und wieviele Läufer nahmen insgesamt teil (N).

Comments

M=204 und N=288

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Danke für die Antwort aber jetzt interessiert mich noch wie sie auf die Antwort gekommen sind wäre es möglich das sie mir das in die Kommentare schreiben

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Summe der Zahlen kleiner als M

1 + ... + (M-1) = ?

Hier gibt es eine wirklich bekannte Formel.

Summe der Zahlen größer als M

(M+1) + ... + N = - (1 + ... + M) + (1 + .... + M + (M+1) + ... + N)

auch hier kann man jetzt zweimal diese Formel anwenden. Beides gleichsetzen. Jetzt alle N auf die eine und die M auf die andere Seite bringen und dann vereinfachen. Mach das doch mal.

Answer 1

∑ (x = 1 bis m - 1) (x) = ∑ (x = m + 1 bis n) (x)

Daraus erhalte ich die Bedingung

2·m^2 = n^2 + n

Du suchst hier jetzt eine Lösung für 100 < n < 1000

Die einzige Lösung laut Wolframalfa ist damit m = 204 ; n = 288

Answer 2

\( \frac{1}{2}\left(m^{2}-m\right)=\frac{1}{2}\left(n^{2}+n\right)- \frac{1}{2}\left(m^{2}+m\right)\)

\( m^{2}-m=n^{2}+n-m^{2}-m\)

\( 2m^{2}=n^{2}+n\)

Die passende Lösung haben andere ja schon angegeben. Ich habe mit der Gleichung herumgespielt und dabei folgende Lösungen gefunden, wenn man die Vorgabe zwischen 100 und 1000 einmal ignoriert.

m	1	6	35	204	1189	6930	40391
n	1	8	49	288	1681	9800	57121

Diese Werte hat mir Wolframalpha geliefert. Nun habe ich mich gefragt, ob es dabei ein System gibt. Dabei ist mir aufgefallen, dass die ungeraden Werte für n Quadratzahlen sind und die geraden das Doppelte von Quadratzahlen bzw. um 1 kleiner als eine Quadratzahl. Die Werte von m sind dabei immer durch die Wurzel teilbar.

m	1*1	2*3	5*7	12*17	29*41	70*99	169*239
n	1²	2*2²=3²-1	2*5²-1=7²	2*12²=17²-1	2*29²-1=41²	2*70²=99²-1	2*169²-1=239²

Jetzt ist mir folgendes System aufgefallen:

Man erhält die nächste Zahl m, indem man zunächst beide Faktoren addiert, also z.B. 5+7=12 und außerdem zweimal den kleineren Faktor plus den größeren Faktor, also 2*5+7=17. Dann 12*17=204.

Der Wert von n kann dann mit Hilfe der zwei Faktoren von m so bestimmt werden, wie in der Tabelle angedeutet ist.

Warum das Ganze so funktioniert, weiß ich nicht. Vielleicht kennt ja jemand die Antwort.

:-)