Lösungsmenge eines Kongruenzsystems

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Kongruenzsystems

x ≡ 4 mod 8

88x≡40 mod20

28x ≡ 10 mod 50

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe ein Problem mit dem vereinfachen von Kongruenzen. Ich weiß von der Lösung das 88x≡40 mod20 zu x ≡ 0 mod 5 wird, bei 28x ≡ 10 mod 50 haben wir es mit dem Euklidschen Algorithmus gelöst da versteh ich es auch aber bei dem ersten Beispiel komme ich nicht auf das Ergebnis von der Lösung. Kann mir wer erklären wie ich bei 88x≡40 mod20 vorgehen muss. Ich brauche alle Kongruenzen vorne mit x damit ich den chinesischen restsatz anwenden kann.

Answer 1

Es gilt 88≡8 mod20 und demzufolge 88x≡8x mod20.

Weiter gilt 40≡0 mod20.

Aus 88x≡40 mod20 wird demzufolge 8x≡0 mod20.

Beidseitige Division durch 8 liefert

x≡0 mod\( \frac{20}{ggT(8;20)} \), also x≡0 mod 5.

Comments

Wo bekomme ich die 8 oben her ?

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Servus corinna1234,

meinst du die "\( 8 \)" bei "\( 88 \equiv 8 \mod 20 \)"?

Es ist \( a \equiv b \mod m \iff \exists k \in \mathbb{Z}: \ a = km + b \).

Wegen \( 88 = 4 \cdot 20 + 8\) (die \( 20 \) passt \( 4 \) mal in die \( 88 \) rein und Rest ist \( 8 \)) erhalten wir mit der obigen Definition

\( 88 = 4 \cdot 20 + 8 \iff 88 \equiv 8 \mod 20\).

Lg