Stimmt es, dass N,Z,Q ∈ R sind und nicht andersrum?

Question

Hallo liebe Community.

Ich habe eine Frage:

Ich bin relativ neu in der Mathematik und habe eine Frage zu den reellen Zahlen.

Nun:

ℕ= { (0), 1,2,3. . .}

ℤ= {... -3, -2, -1, (0), 1,2,3 ...}

ℚ= 1/4 , 7.543  etc

ℝ= soweit ich weiß, sind reelle Zahlen die irrationalen Zahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben.

Stimmt es dann, dass N,Z,Q ∈ R sind und nicht andersrum? Ich weiß, dass e und Pi reelle Zahlen sind.

Wie kann ich N,Z,Q von R unterscheiden? Muss es immer irrational sein?

Ich bedanke mich und hoffe auf Antworten auf diese primitive Frage. Vielen Dank im Voraus

Answer 1

ℝ= soweit ich weiß, sind reelle Zahlen die irrationalen Zahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben.

Das ist nicht wirklich richtig.

Die reellen Zahlen setzen sich zusammen aus den rationalen Zahlen und den irrationalen Zahlen, d.h. jede rationale Zahl ist reell, jede irrationale Zahl ist reell und jede reelle Zahl ist rational oder irrational.

Jede rationale Zahl wird dadurch charakterisiert, dass sie als Quotient zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann, z.B. ist \(\frac{1}{4}\) der Quotient aus \(1\in \mathbb{Z}\) und \(4\in \mathbb{Z}\), sowie \(7,543=\frac{7543}{1000}\) der Quotient aus \(7543\in \mathbb{Z}\) und \(1000\in \mathbb{Z}\).

Jede irrationale Zahl wird dadurch charakterisiert, dass sie nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann (also "nicht rational" ist), ein relativ bekanntes Beispiel ist dafür \(\sqrt{2}\), für welche man aus der Annahme, sie wäre rational, d.h. \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) mit \(a,b\in \mathbb{Z}\), einen Widerspruch herleiten kann.

Hier werden irrationale Zahlen auch oft dadurch charakterisiert, dass sie in Dezimalschreibweise unendlich viele, nicht periodische (d.h. kein sich wiederholendes Muster in den) Nachkommastellen besitzen.

Mit deiner Aussage

N,Z,Q ∈ R

meinst du vermutlich eher \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}\).
In der Tat ist sogar \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\). Jede natürliche Zahl ist ganz (aber z.B. ist \(-1\notin \mathbb{N}\)), jede ganze Zahl rational (wähle als Nenner jeweils die \(1\) als ganze Zahl, andersrum ist z.B. \(\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z}\)), jede rationale Zahl reell (aber z.B. ist \(\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}\)).

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Vielen Dank für die detaillierte Antwort!

Und genau, ich meinte ⊆ . Ich bin nicht sehr gut vertraut mit den Notationen und Ausdrücken.

Answer 2

Stimmt es dann, dass N,Z,Q ∈ R sind und nicht andersrum?

Hallo Azrael, das stimmt weder so noch anders herum. Elemente von N, Z, Q oder R sind keine Mengen, sondern Zahlen. Die Teilmengenbeziehung der vier Mengen ist

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

ℝ= soweit ich weiß, sind reelle Zahlen die irrationalen Zahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben.

Die Zahl 1/3=0.3333... besitzt auch unendlich viele Nachkommastellen, ist aber rational.

Die Zahl 0.303003000300003... hingegen ist nicht rational.

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Vielen Dank!

Answer 3

Die Menge der natürlichen Zahlen ist Teilmenge der Menge der reellen Zahlen. Symbolisch geschrieben

        \(\mathbb{N}\subseteq \mathbb{R}\).

Ebenso ist

        \(\begin{aligned} \mathbb{N}&\subseteq \mathbb{Z}\\ \mathbb{N}&\subseteq \mathbb{Q}\\ \mathbb{Z}&\subseteq \mathbb{R}\\ \mathbb{Z}&\subseteq \mathbb{Q}\\ \mathbb{Q}&\subseteq \mathbb{R}\\ \end{aligned}\)

oder kurz

        \(\mathbb{N}\subseteq \mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}\).

Q ∈ R

Das Zeichen ∈ bedeutet ist Element von, und nicht ist Teilmenge von. \(\mathbb{Q}\in\mathbb{R}\) würde bedeuten, die Menge \(\mathbb{Q}\) ist eine reelle Zahl.

sind reelle Zahlen die irrationalen Zahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben.

Reelle Zahl sind

• rationale Zahlen, das heißt Zahlen, die eine endliche oder periodische Dezimalbruchentwicklung haben,
  
• irrationale Zahlen, das heißt Zahlen, die eine unendliche nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung haben.
  

Ersteres ist der Grund, warum \(\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}\) ist. Letzteres ist der Grund, warum \(\mathbb{Q}\neq \mathbb{R}\) ist.

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Vielen Dank!