Wie lautet die Ableitung von f(x)= \frac{a}{a-x}?

Question

Aufgabe:

Wie lautet die Ableitung von f(x)=\( \frac{a}{a-x} \)?

Problem/Ansatz:

Also f(x) umgeschrieben ist f(x)=a*(a-x)^{-1}. Wenn man ableitet, muss man doch die Kettenregel benutzen also müsste die Ableitung doch f'(x)= \( - \frac{a}{(a-x)^2} \) sein wegen der Ableitung der inneren Funktion aber das Minus wird in den Lösungen weggelassen, warum?

Answer 1

Quotienten- oder Produktregel(+Faktorregel)

f(x)= a*(a-x)^-1

f '(x) = a*(-1)*(a-x)^-2*(-1) = a/(a-x)^2

mit Quotientenregel:

(0*(a-x)-a*(-1))/(a-x)^2 = a/(a-x)^2

Comments

Ahh, jetzt sehe ich es auch, danke!

Answer 2

Kettenregel und Reziprokenregel genügen: $$ f(x) = \dfrac{a}{a-x} \\ f'(x) = (-1)\cdot\dfrac{-a}{(a-x)^2} = \dfrac{a}{(a-x)^2} $$Die innere Ableitung der Kettenregel liefert das erste Minus, die Reziprokenregel das zweite. Beide lassen sich dann verrechnen.

Du hast über die Potenzregel abgeleitet. Bei richtiger Anwendung liefert die allerdings auch den Faktor \((-1)\), der ist bei dir verloren gegangen.

Answer 3

Hallo,

\(f(x)= \dfrac{a}{a-x} =a\cdot\dfrac 1{a-x}\)

\( f(x)=a\cdot\dfrac{1}{u(x)} \Rightarrow  f'(x)=a\cdot\dfrac{-u'(x)}{[u(x)]^2}    \)

Mit \(u(x)=a-x\) und \(u'(x)=-1\) erhältst du die vorgegebene Lösung.

:-)

Answer 4

f(x)=\( \frac{a}{a-x} \)

Mit Quotientenregel abgeleitet:       Allgemein: \( \frac{Z´•N-Z•N´}{N^2} \)

f´(x)=\( \frac{0•(a-x)-a•(-1)}{(a-x)^2} \)=\( \frac{a}{(a-x)^2} \)