Gleichung umformen: 4AB+4CD-8√(ABCD) = (A+B-C-D)^2

Question

Ich habe folgende Gleichung:

\( 4AB+4CD-8\sqrt{ABCD} = (A+B-C-D)^2 \)

Kann jemand diese so umformen, dass die Wurzel verschwindet (das kann ich notfalls selber) und vor allem die Gleichung dann in eine Form gebracht ist, in der die Variablen A, B, C und D gleichwertig sind, und die Gleichung möglichst kurz und kompakt ist ("schön" aussieht)?

Comments

Falls alle vorkommenden Terme positiv sind (andere Fälle im Anschluss extra untersuchen), kann man wie folgt umformen :

4*(√(AB)^2 - 2√(AB)√(CD) + √(CD)^2)  =  (A+B-C-D)^2
4*(√(AB) - √(CD))^2  =  (A+B-C-D)^2
2*(√(AB) - √(CD))  =  A+B-C-D
√(AB) - (A+B)/2  =  √(CD) - (C+D)/2

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Danke erst einmal. Die Gleichung ist zwar etwas kompakter, aber die Variablen sind immer noch nicht gleichberechtigt, und ich bräuchte eine ohne Wurzeln.

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Wann sind für dich die Variablen gleichberechtigt? in der Form von Gast sind sie doch sehr gleichberechtigt? du kannst A gegen B und C gegen D austauschen   und in den beiden Seiten auch A,B gegen C,D

warum bringst du die Wurzel nicht auf eine Seite und quadrierst alles? aber dann wird es unschöner!

lul

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Gleichberechtigt sind Variablen, wenn sie beliebig vertauschbar sind und sich der Term nicht ändert, so wie es z.B. bei allen Formeln für Dreiecke ist, weil keine Seite oder Ecke bevorzugt werden darf. Das kann man hier nicht.

Quadriert habe ich selbst schon, das Ergebnis wird nicht besser.

Answer 1

\(4AB+4CD-8\sqrt{ABCD} = (A+B-C-D)^2 \)

\(4(\sqrt{AB}-\sqrt{CD})^2= (A+B-C-D)^2 \)

\(2(\sqrt{AB}-\sqrt{CD})= A+B-C-D \)

\(C+D-2\sqrt{CD}= A+B-2\sqrt{AB} \)

oder

\(2(\sqrt{AB}-\sqrt{CD})=-A-B+C+D \)

\(C+D+2\sqrt{CD}= A+B+2\sqrt{AB} \)

:-)

Comments

Letze Zeile kürzer:

(√C + √D)^2 = (√A + √B)^2

und noch kürzer

(√C + √D) = (√A + √B)

Da sind zwar die Wurzeln gerade nicht verschwunden, aber es ist kurz ...

Das Ganze natürlich unter der Einschränkung, dass alle vier beteiligten Zahlen nichtnegativ sind, sonst muss man gleich zu Beginn noch ein paar Fallunterscheidungen machen.

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Es sind immer noch Wurzeln da, und die Variablen sind immer noch nicht gleichberechtigt.

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Es sind immer noch Wurzeln da, und die Variablen sind immer noch nicht gleichberechtigt.

Noch einfacher als

√A + √B = √C + √D

geht's ja wohl nicht.

Was willst du denn überhaupt?

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Das sagte ich schon mehrmals:

Ich brauche eine Form ohne Wurzeln, in der die Variablen gleichberechtigt sind, d.h. die Gleichung muss in A, B, C, D symmetrisch sein.