Löst man diese Aufgaben durch einfaches Umstellen und Aufzeigen der Gleichheit?

Question

Aufgabe: Beweisen Sie oder widerlegen Sie:

$$ \text{i)}\quad \sum\limits_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}}\cdot 3^{k}\cdot 2^{n-k} = \sum\limits_{k=0}^{n}{ \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} }\cdot 5^k $$ $$ \text{ii)}\quad \text{Für }n\in\mathbb{N} \text{ gerade: } \sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} (-1)^k\cdot 7^k\cdot 2^{n-k} =  \sum\limits_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}}\cdot 3^{k}\cdot 2^{n-k}$$

Problem/Ansatz:

Hallo,

ich weiß, dass hier solche komplette Fragen ohne Lösungsansatz nicht gerne gesehen sind, aber diese beiden Aufgaben waren in der Klausur, in der ich durchgefallen bin. Ich weiß absolut nicht, wie ich hier vorgehen muss. Löst man diese Aufgaben durch einfaches Umstellen und Aufzeigen der Gleichheit?

Wenn mir keiner den kompletten Rechenweg aufzeigen will, aus moralischer Sicht, dann wäre es lieb, wenn man mir Begriffe geben könnte, nach denen ich bei Youtube suche könnte, um mir fehlendes Wissen anzueignen.

Ich habe anscheinend etwas falsch gemacht, aber beim Lernen ist mir nicht eine einzige, solches Aufgabentyps vorgekommen. Keine Ahnung, wie man sowas rechnet.

Ganz liebe Grüße

Comments

Hallo. Ich habe mir mal erlaubt, die etwas unbefriedigende Darstellung der beiden Aufgaben anders zu setzen. Überprüfe mal, ob die Aufgaben aus der Klausur tatsächlich so aussahen.

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Vielen Dank! Ja, das tun sie.

Ich habe unter den Symbolen nicht das "n über k" Symbol gefunden.

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Mich hat das \(\sum\limits_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}}\) auf der rechten Seite von i) ein wenig gestört. (ii) habe ich mir nicht genau angesehen.)

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So lautet die Aufgabe aber...

Answer 1

Hallo,

kennst du den binomischen Lehrsatz? Nach diesem gilt: $$(x+y)^n=\sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} k\\n \end{pmatrix}x^{n-k}y^k$$ und damit:$$\sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} k\\n \end{pmatrix}3^k2^{n-k}=5^n\neq 6^n=\sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} k\\n \end{pmatrix}5^k\cdot 1^{n-k}$$ Für (ii) musst du ein Potenzgesetz und eine Identität für Binomialkoeffizienten nachschlagen.