3 Projekte auf 6 Schüler verteilen, wobei 2 immer gemeinsam arbeiten sollen

Question

Aufgabe:

Wir möchten drei verschiedene kleine Projektaufgaben auf sechs Schüler:innen so verteilen, dass immer
zwei Schüler:innen zusammen arbeiten. Bestimmen Sie die Anzahl Möglichkeiten hierfür.

Meine Lösung wäre so:

Objekte: Projektaufgaben

Kategorien: Schüler:innen

Wenn man drei Projektaufgaben hat und sechs Schüler:innen, und immer zwei zusammen arbeiten sollen, dann hätte man doch für Projekt 1 genau 3 Möglichkeiten, für Projekt 2 auch 3 und für Projekt 3 auch 3.

Oder wäre wäre das so eher richtig? : Projekt 1 = 3 Möglichkeiten, Projekt 2 = 2 Möglichkeiten, Projekt 3 = 1 Möglichkeit?

Und dann 3 * 2 * 1 = 6 Möglichkeiten?

Answer 1

Wir möchten drei verschiedene kleine Projektaufgaben auf sechs Schüler:innen so verteilen, dass immer zwei Schüler:innen zusammen arbeiten. Bestimmen Sie die Anzahl Möglichkeiten hierfür.

Wähle aus den sechs Schülern zunächst zwei \(\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\); aus den verbleibenden vier wieder zwei \(\begin{pmatrix} 4\\2 \end{pmatrix}\). Gut, und aus zwei Schülern zwei zu wählen, ist einfach, hier hat man nur eine Möglichkeit \(\begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix}=1\).

Insgesamt gilt:$$\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4\\2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix}=90 \text{ Möglichkeiten }$$ Man könnte hier noch darüber nachdenken, ob man noch durch 3 teilt. Das hängt wohl dann von der Praxis ab, ob sich die verschiedenen Projekte inhaltlich unterscheiden.

Comments

Vielen Dank! Wie multipliziert man das denn am Ende, sodass man auf 90 kommt?

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Über die Definition des Binomialkoeffizients: \(\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}\).

Dann ist 6 über 2=15 und 4 über 2=6 und 2 über 2=1

15*6*1=90.

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Man könnte hier noch darüber nachdenken, ob man noch durch 3 teilt. Das hängt wohl dann von der Praxis ab, ob sich die verschiedenen Projekte inhaltlich unterscheiden.

Dann würde man aber nicht durch 3, sondern durch 3! teilen, oder? Also wenn es nur um die Anzahl der Möglichkeiten gibt 3 Zweiergruppen zu bilden. Dann wären es nur 15 Möglichkeiten.

Da in der Aufgabe aber extra "drei verschiedene kleine Projektaufgaben" braucht man sich hier in der Tat keinen Kopf drum zu machen. Da würde ich sagen die 90 sind völlig richtig.

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Dann würde man aber nicht durch 3, sondern durch 3! teilen, oder?

Ja, du hast recht. Das ist ein ähnliches Szenario wie bei den Halbfinal-Kombinationen.

(https://www.mathelounge.de/352717/2-aufgaben-stochastik-wahrscheinlichkeit)

Da in der Aufgabe aber extra "drei verschiedene kleine Projektaufgaben" braucht man sich hier in der Tat keinen Kopf drum zu machen. Da würde ich sagen die 90 sind völlig richtig.

Genau.