Summenformel für Summe von Brüchen: Vollständige Induktion mit (n-1)...

Question

Aufgabe: Zeigen Sie durch vollständige Induktion

\( \sum\limits_{k=1}^{n-1}{  \frac{1}{4k^2-1} } \)  = \( \frac{n-1}{2n-1} \)

Problem/Ansatz: Dies war eine Klausuraufgabe, die ich nicht vollständig lösen konnte.

Meine erste Frage bezieht sich auf die I.A.: Wenn ich hier mit n = 1 vorgehe, dann hätte ich \( \sum\limits_{k=1}^{0}{\frac{1}{4k^2-1}}  = \frac{1}{4*1^2-1} = \frac{0-1}{2 * 0 -1} \)  = \( \frac{1}{3} \)  = \( \frac{0}{1} \).

Aber das ist doch quatsch. Auf beiden Seiten muss doch das selbe rauskommen. Aber auf der linken Seite, ist laut Summenzeichen ja k = 1 also muss ich auch 1 bei k einsetzen und komme dann auf 1/3. Und auf der rechten Seite setze ich n = 1 ein.

Und beim Induktionsschritt würde ich ja dann auftrennen, wenn ich für n = n +1 setze: z.Z:

\( \sum\limits_{k=1}^{(n+1)-1}{(\frac{1}{4k^2-1}} \)) = \( \frac{(n+1)-1}{2(n+1)-1} \) = \( \frac{n}{2n+1} \) .

Es gilt: \( \sum \limits_{k=1}^{(n}{\frac{1}{4k^2-1}} \) = \( \sum\limits_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{4k^2-1}} \)  + \( \sum\limits_{k=1}^{(n+1)-1}{\frac{1}{4k^2-1}} \)  = \( \sum\limits_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{4k^2-1}} \)  + \(  \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{4k^2-1}} \) =  \( \frac{n-1}{2n-1} \) +  \( \frac{1}{4*(n+1)^2-1}) \).

Ist das Vorgehen bis hier hin richtig? Wenn ja, dann hatte ich ab hier Probleme, zusammenzufassen und auf das Ergebnis zu kommen.

Comments

Hallo Lernen ist Wichtig,

wenn ich Deine Text richtig gelesen habe, hast Du Dich mit den Indizes vertan.

Wir haben

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{4k^2-1}=\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{4k^2-1}+ \frac{1}{4n^2-1}$$$$=\frac{n-1}{2n-1}+\frac{1}{4n^2-1} \text{ ist ? } \frac{n}{2n+1}$$

Dies kann man klären, indem man die fragliche Gleichung äquivalent umformt, bis man auf eine offensichtlich richtige Gleichung stößt, wie der Mathecoach - hier wäre allerdings die Verknüpfung der Schritte mit einem logischen Symbol angebracht. Oder man bringt die linke Seite auf den Hauptnenner - beachte \(4n^2-1=(2n-1)(2n+1)\) - und vereinfacht.

Gruß Mathhilf

---

Muss ich in der ersten Zeile nicht, nach dem "+" Zeichen dann in 1/(4k^2-1) für k = n+1 einsetzen? und dann hätte ich doch + 1/(4*(n+1)^2 -1).

weil ich teile ja in der ersten Zeile in n-1 auf, und dann + n+1 einsetzen, oder nicht? und für den Summanden mit n-1 kann ich ja von oben die n-1/(2n-1) einsetzen.

Wieso hast du denn da 1/(4n^2-1) ?

---

Aha, das ist also der Knackpunkt. Wir habe eine Formel zu beweisen, wo auf der linken Seite eine Summe steht, dabei geht der "Laufindex" k von 1 bis n-1. Im Induktionsbeweis wollen wir diese Formel für \( n \to n+1\) zeigen, d.h. wir ersetzen n durch n+1. Dann geht es um die Summe

$$\sum_{k=1}^n\frac{1}{4k^2-1}$$

Das heißt: k nimmt die Werte \(1,2,3, \ldots n-1,n\) an. Der letzte Summand wird mit k=n gebildet.

Gruß Mathhilf

---

Ahaaaaa, also Summe von n-1 + nur n eingesetzt, anstatt n+1, right?

Answer 1

Zu zeigen:

∑ (k = 1 bis n - 1) (1 / (4·k^2 - 1)) = (n - 1) / (2·n - 1)

Induktionsanfang: n = 2

∑ (k = 1 bis 2 - 1) (1 / (4·k^2 - 1)) = (2 - 1) / (2·2 - 1)
(1 / (4·1^2 - 1)) = 1/3
1/3 = 1/3

Induktionsschritt: n → n + 1

∑ (k = 1 bis n) (1 / (4·k^2 - 1)) = ((n + 1) - 1) / (2·(n + 1) - 1)
(n - 1) / (2·n - 1) + (1/(4·n^2 - 1)) = n / (2·n + 1)
(n - 1)·(2·n + 1) / ((2·n - 1)·(2·n + 1)) + (1/(4·n^2 - 1)) = n / (2·n + 1)
(2·n^2 - n - 1) / (4·n^2 - 1) + (1/(4·n^2 - 1)) = n / (2·n + 1)
(2·n^2 - n - 1 + 1) / (4·n^2 - 1) = n / (2·n + 1)
(2·n^2 - n) / (4·n^2 - 1) = n / (2·n + 1)
n·(2·n - 1) / ((2·n - 1)·(2·n + 1)) = n / (2·n + 1)
n / (2·n + 1) = n / (2·n + 1)

Comments

Keine Ahnung ehrlich gesagt, wie du das rechnest. Kannst du mal bitte bitte bei meinem Vorgehen drüber schauen?

(n-1)/(2n-1) + 1/(4*((n+1)2) -1) = (n-1)/(2n-1)  + 1/ (4* (n2 +2n+1)-1) = (n-1)/(2n-1)  + 1/ (4n2 + 8n + 4 -1) ?

ich teile das summenzeichen mit oben n+1 doch auf in zwei, oder nicht?

einmal in n-1, damit ich oben dann die annahme dafür einsetzen kann, und dann noch einmal mit n+1, wobei ich dann den ausdruck mit 1/4k^2 - 1 nehme und dort n+1 für k einsetze, und die beiden Ausdrücke dann addiere.

---

Sag mir lieber welche Zeile du bei mir nicht verstehst.

Answer 2

Wie willst du von k=1 bis k=0 summieren?

Der Induktionsanfang muss hier für n=2 gemacht werden.

Comments

Danke, ich rechne mal durch. Ich werde übrigens noch verrückt mit diesen Symbolen hier...

---

Wie rechne ich denn dann beim Induktionsschritt weiter, wenn ich folgendes habe:

(n-1)/(2n-1) + 1/(4*((n+1)^2) -1) = (n-1)/(2n-1)  + 1/ (4* (n^2 +2n+1)-1) = (n-1)/(2n-1)  + 1/ (4n^2 + 8n + 4 -1) ?

---

Wie willst du von k=1 bis k=0 summieren?

https://de.wikipedia.org/wiki/Leere_Summe

Der Induktionsanfang muss hier für n=2 gemacht werden.

Nein, er kann auch bei n=1 beginnen. Nur ist der Wert der Summe hier 0 und nicht 1/3. Passt also alles.