Sparend zum Millionär. Wie hoch sind die ersten beiden Einzahlungen?

Question

Aufgabe:

Matherätsel mit Sparen zum Millionär

Problem/Ansatz:

Ja meine erste Million, das ging eigentlich ganz leicht. Der Trick dabei, sich langsam steigern. Also eröffnete ich ein neues Sparkonto und zahlte in der ersten Woche einen glatten Eurobetrag aufs Konto ein. In der folgenden Woche wieder einen glatten Eurobetrag aufs Konto. Ab nun ging es recht flott. Jede Woche habe ich dann genau die Summe der beiden vorherigen zwei Wochen eingezahlt. Und so belief sich meine zwanzigste Einzahlung auf exakt 1.000.000 Euro. Plötzlich rasselt der Wecker, ich wachte auf. Aber dann mußte ich doch nochmal nachrechnen. Hier die Frage: Wie hoch waren die ersten beiden Beträge die eingezahlt wurden?

Comments

Es wäre schade, wenn sich der Owner des Geo-Caching Rätsel solche Mühe macht und die Lösung dann einfach im Internet zu finden ist. Wenn Du nicht weiterkommst, hol Dir bitte Tipps beim Owner oder Kumpels.

Bei spezifischen mathematischen Fragen können wir natürlich auch gerne helfen :).

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1. Woche: x

2.W. : x+y

3.W: x+(x+y)

4.W: x+(x+y)+(x+y)

5.W: x+(x+y)+(x+y)+ x+(x+y)

...

20.W: ...

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Wenn x und y die ersten beiden Einzahlungen sind, ist 4181x+6765y die 20. Zahlung, Die Gleichung 4181x+6765y=1000000 hat aber keine Lösung in der Menge der natürlichen Zahlenpaare.

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Der Lösungsvorschlag von Gast, wie Deine Lösung sind auch falsch.

Aber die Idee eines geschlossenen Threads war es nicht, das trotzdem als Lösung zu präsentieren...

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Was ist an meinem Ansatz falsch?

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Der Lösungsvorschlag von Gast, wie Deine Lösung sind auch falsch.

Das ist vielleicht ungewöhnlich modelliert aber nicht falsch! Man muss das y nur als Differenz zum ersten Betrag sehen.

Answer 1

f1 = a

f2 = b

f3 = a + b

f4 = a + 2b

f5 = 2a + 3b

f6 = 3a + 5b

... erkennst du die Fibonacci-Zahlen als Koeffizienten?

Damit kann st du jetzt den Allgemeinen Term für f20 bestimmen und diesen gleich 1000000 setzen. Du erhältst eine diophantische Gleichung, die du lösen solltest. Probiere das mal. a = 154 und b = 144

Answer 2

Die allg. Lösung lautet

$$ x = 154 + k \cdot 4181  \\  y = -10 - k \cdot 6765 $$ mit \( k \in \mathbb{Z} \)

Das ergibt aber keine Lösungen mit \( x, y \ge 0 \)

Comments

Die allg. Lösung lautet

Ich hatte etwas anderes. Aber kann auch sein, dass ich von einer verkehrten Gleichung ausgegangen war oder mich irgendwo verrechnet hatte.

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Ich habe auch etwas anderes, und zwar x = ... und y = ... als Lösung
von 1000000 = 2584x + 4181y. Kann das jemand bestätigen?

[Werte gelöscht]

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Ich habe auch etwas anderes, und zwar x = ... und y = ... als Lösung

Deine Lösung ist richtig. Weil es ein Geocaching-Rätsel ist habe ich die Werte durch Punkte ersetzt.

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Ja das ist richtig. Ich bin eine Zeile zu weit gerutscht und habe die Gleichung $$  4181 \cdot x+6765 \cdot y = 1'000'000$$ gelöst anstatt $$ 2584 \cdot x+4181 \cdot y = 1'000'000 $$

Answer 3

2584x+4181y=1000000

x=...,y=...

:-)