Hallo,
Tschakabumba hat es sehr schön begründet. Ich möchte das Ganze aber
nochmal in einen allgemeineren Zusammenhang stellen.
Es sei \(I\) eine endliche Indexmenge und \((a_i: \; i\in I)\) eine Familie
von Zahlen (oder Elementen eines beliebigen kommutativen Rings).
Dann ist klar, was
\(\sum_{i\in I}a_i\) und \(\prod_{i\in I}a_i\) im Falle \(I\neq \emptyset\) bedeutet.
Wie soll man diese Ausdrücke aber deuten, wenn \(I=\emptyset\) ist?
Sei \(I=J\cup K\) mit \(J\cap K=\emptyset\). Dann wird man aufgrund der
Assoziativität folgendes fordern:
\(\sum_{i\in J\cup K}a_i=\sum_{i\in J}a_i+\sum_{i\in K}a_i\; \) und \(\; \prod_{i\in J\cup K}a_i=\prod_{i\in J}a_i\cdot \prod_{i\in K}a_i\)
Speziell liefert dies
\(\sum_{i\in I}a_i=\sum_{i\in I\cup \emptyset}a_i=\sum_{i\in I}a_i+\sum_{i\in \emptyset}a_i\; \) und
\(\prod_{i\in I}a_i=\prod_{i\in I\cup \emptyset}a_i=\prod_{i\in I}a_i\cdot \prod_{i\in \emptyset}a_i\).
Hieraus folgt, dass die "leere Summe" gleich dem neutralen Element
der Addition (also \(0\)) und
das "leere Produkt" gleich dem neutralen Element
der Multiplikation (also \(1\)) sein muss.
Bei \(n!\) führt die Definition im Falle \(n=0\) zu einem leeren Produkt, so dass
also nach der allgemeinen Regel \(1\) als Wert genommen wird.
